Розв'язання вправи № 53 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Обчисліть значення виразу $\frac{27a^3-64b^3}{b^2-4} : \frac{9a^2+12ab+16b^2}{b^2+4b+4}$ , якщо $a=4, b=3$ .

Короткий розв'язок

$\frac{(3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)}{(b-2)(b+2)} \cdot \frac{(b+2)^2}{9a^2+12ab+16b^2} = \frac{(3a-4b)(b+2)}{b-2}$

При $a=4, b=3$ : $\frac{(3 \cdot 4 - 4 \cdot 3)(3+2)}{3-2} = \frac{(12-12) \cdot 5}{1} = 0$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб уникнути громіздких обчислень, спочатку спростимо алгебраїчний вираз. Для цього замінимо ділення множенням на обернений дріб, розкладемо чисельники та знаменники на множники за допомогою формул скороченого множення, а потім скоротимо спільні множники. Лише після цього підставимо числові значення.

1. Розкладання на множники.

Розкладемо на множники кожен елемент виразу:

$27a^3-64b^3 = (3a)^3-(4b)^3 = (3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$ (різниця кубів)
$b^2-4 = (b-2)(b+2)$ (різниця квадратів)
$9a^2+12ab+16b^2$ — неповний квадрат суми, не розкладається на простіші множники.
$b^2+4b+4 = (b+2)^2$ (квадрат суми)

2. Спрощення виразу.

Підставимо розкладені вирази у початковий приклад і замінимо ділення на множення:

\frac{(3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)}{(b-2)(b+2)} \cdot \frac{(b+2)^2}{9a^2+12ab+16b^2}

Скоротимо спільні множники $(9a^2+12ab+16b^2)$ та $(b+2)$ :

\frac{(3a-4b)\cancel{(9a^2+12ab+16b^2)}}{(b-2)\cancel{(b+2)}} \cdot \frac{(b+2)^{\cancel{2}}}{\cancel{9a^2+12ab+16b^2}} = \frac{(3a-4b)(b+2)}{b-2}

3. Обчислення значення.

Тепер підставимо значення $a=4$ та $b=3$ у спрощений вираз:

\frac{(3 \cdot 4 - 4 \cdot 3)(3+2)}{3-2} = \frac{(12-12) \cdot 5}{1} = \frac{0 \cdot 5}{1} = 0