Розв'язання вправи № 46 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що значення виразу $ \frac{a^2-ab+ac-bc}{a^2+ab-ac-bc} \cdot \frac{a^2+bc-ab-ac}{a^2+bc+ab+ac} $ для всіх допустимих значень змінних є невід'ємним.
Короткий розв'язок
$ \frac{(a-b)(a+c)}{(a+b)(a-c)} \cdot \frac{(a-b)(a-c)}{(a+b)(a+c)} = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} = (\frac{a-b}{a+b})^2 \geq 0 $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести твердження, необхідно спростити даний вираз. Основний метод, який ми будемо використовувати — розкладання многочленів на множники методом групування. Після скорочення дробів ми проаналізуємо отриманий вираз.
Крок 1: Розкладемо на множники чисельники і знаменники обох дробів.
1) Чисельник першого дробу: $ a^2-ab+ac-bc = a(a-b)+c(a-b) = (a-b)(a+c) $.
2) Знаменник першого дробу: $ a^2+ab-ac-bc = a(a+b)-c(a+b) = (a+b)(a-c) $.
3) Чисельник другого дробу: $ a^2+bc-ab-ac = a^2-ab-ac+bc = a(a-b)-c(a-b) = (a-b)(a-c) $.
4) Знаменник другого дробу: $ a^2+bc+ab+ac = a^2+ab+ac+bc = a(a+b)+c(a+b) = (a+b)(a+c) $.
Крок 2: Підставимо розкладені вирази в початковий дріб і виконаємо множення.
Запишемо все під спільною рискою дробу:
Крок 3: Скоротимо спільні множники.
Скорочуємо множники $(a+c)$ та $(a-c)$:
Отриманий дріб можна записати як квадрат частки:
Висновок:
Ми спростили вираз до вигляду $ (\frac{a-b}{a+b})^2 $. Квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід'ємним числом (тобто більшим або рівним нулю). Отже, значення даного виразу є невід'ємним для всіх допустимих значень змінних $a, b, c$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.