До змісту

Розв'язання вправи № 46 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть, що значення виразу a2−ab+ac−bca2+ab−ac−bc⋅a2+bc−ab−aca2+bc+ab+ac \frac{a^2-ab+ac-bc}{a^2+ab-ac-bc} \cdot \frac{a^2+bc-ab-ac}{a^2+bc+ab+ac} для всіх допустимих значень змінних є невід'ємним.

Короткий розв'язок

(a−b)(a+c)(a+b)(a−c)⋅(a−b)(a−c)(a+b)(a+c)=(a−b)2(a+b)2=(a−ba+b)2≥0 \frac{(a-b)(a+c)}{(a+b)(a-c)} \cdot \frac{(a-b)(a-c)}{(a+b)(a+c)} = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} = (\frac{a-b}{a+b})^2 \geq 0

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести твердження, необхідно спростити даний вираз. Основний метод, який ми будемо використовувати — розкладання многочленів на множники методом групування. Після скорочення дробів ми проаналізуємо отриманий вираз.

Крок 1: Розкладемо на множники чисельники і знаменники обох дробів.

1) Чисельник першого дробу: a2−ab+ac−bc=a(a−b)+c(a−b)=(a−b)(a+c) a^2-ab+ac-bc = a(a-b)+c(a-b) = (a-b)(a+c) .

2) Знаменник першого дробу: a2+ab−ac−bc=a(a+b)−c(a+b)=(a+b)(a−c) a^2+ab-ac-bc = a(a+b)-c(a+b) = (a+b)(a-c) .

3) Чисельник другого дробу: a2+bc−ab−ac=a2−ab−ac+bc=a(a−b)−c(a−b)=(a−b)(a−c) a^2+bc-ab-ac = a^2-ab-ac+bc = a(a-b)-c(a-b) = (a-b)(a-c) .

4) Знаменник другого дробу: a2+bc+ab+ac=a2+ab+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c) a^2+bc+ab+ac = a^2+ab+ac+bc = a(a+b)+c(a+b) = (a+b)(a+c) .

Крок 2: Підставимо розкладені вирази в початковий дріб і виконаємо множення.

(a−b)(a+c)(a+b)(a−c)⋅(a−b)(a−c)(a+b)(a+c) \frac{(a-b)(a+c)}{(a+b)(a-c)} \cdot \frac{(a-b)(a-c)}{(a+b)(a+c)}

Запишемо все під спільною рискою дробу:

(a−b)(a+c)(a−b)(a−c)(a+b)(a−c)(a+b)(a+c) \frac{(a-b)(a+c)(a-b)(a-c)}{(a+b)(a-c)(a+b)(a+c)}

Крок 3: Скоротимо спільні множники.

Скорочуємо множники (a+c)(a+c) та (a−c)(a-c):

(a−b)(a+c)(a−b)(a−c)(a+b)(a−c)(a+b)(a+c)=(a−b)(a−b)(a+b)(a+b)=(a−b)2(a+b)2 \frac{(a-b)\cancel{(a+c)}(a-b)\cancel{(a-c)}}{(a+b)\cancel{(a-c)}(a+b)\cancel{(a+c)}} = \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}

Отриманий дріб можна записати як квадрат частки:

(a−ba+b)2 (\frac{a-b}{a+b})^2

Висновок:

Ми спростили вираз до вигляду (a−ba+b)2 (\frac{a-b}{a+b})^2 . Квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід'ємним числом (тобто більшим або рівним нулю). Отже, значення даного виразу є невід'ємним для всіх допустимих значень змінних a,b,ca, b, c.

Популярне у 8 класі