ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №5 (Варіант 1)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть правильну рівність.
А) $2^{-3} = -\frac{1}{2^3}$; Б) $5^0=0$; В) $9^{-2} = \frac{1}{9^2}$; Г) $5^{-4} = -5^4$.

2. Подайте вираз у вигляді степеня з основою $a$ 1) $a^5 : a^3 \cdot a^{-8}$; 2) $a^0 \cdot (a^{-4})^3 : a^7$; 3) $(a^2)^{-6} \cdot (a^{-3})^{-4}$.

3. Знайдіть значення виразу: 1) $64 \cdot 2^{-7}$; 2) $1,5^{-1} + (-2)^0$; 3) $3^{-3} - (-3)^{-2}$.

4. Спростіть вираз $\frac{12^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}$, де $n$ — ціле число.

Короткий розв'язок

1. В) $9^{-2} = \frac{1}{9^2}$

2. 1) $a^{-6}$; 2) $a^{-19}$; 3) 1.

3. 1) $\frac{1}{2}$; 2) $1\frac{2}{3}$; 3) $-\frac{2}{27}$.

4. $1,5$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми будемо використовувати визначення степеня з цілим показником та його властивості.

1. За визначенням степеня з від'ємним показником $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (для $a \neq 0$) та степеня з нульовим показником $a^0=1$ (для $a \neq 0$).
А) $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$, а не $-\frac{1}{2^3}$. Рівність неправильна.
Б) $5^0 = 1$, а не $0$. Рівність неправильна.
В) $9^{-2} = \frac{1}{9^2}$. Рівність правильна.
Г) $5^{-4} = \frac{1}{5^4}$, а не $-5^4$. Рівність неправильна.
Відповідь: В.

2.
1) $a^5 : a^3 \cdot a^{-8} = a^{5-3} \cdot a^{-8} = a^2 \cdot a^{-8} = a^{2+(-8)} = a^{-6}$.
2) $a^0 \cdot (a^{-4})^3 : a^7 = 1 \cdot a^{-4 \cdot 3} : a^7 = a^{-12} : a^7 = a^{-12-7} = a^{-19}$.
3) $(a^2)^{-6} \cdot (a^{-3})^{-4} = a^{2 \cdot (-6)} \cdot a^{-3 \cdot (-4)} = a^{-12} \cdot a^{12} = a^{-12+12} = a^0 = 1$.

3.
1) $64 \cdot 2^{-7} = 2^6 \cdot 2^{-7} = 2^{6-7} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2) $1,5^{-1} + (-2)^0 = (\frac{3}{2})^{-1} + 1 = \frac{2}{3} + 1 = 1\frac{2}{3}$.
3) $3^{-3} - (-3)^{-2} = \frac{1}{3^3} - \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} = \frac{1}{27} - \frac{3}{27} = -\frac{2}{27}$.

4. Розкладемо число 12 на прості множники: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
$\frac{(2^2 \cdot 3)^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}} = \frac{(2^2)^n \cdot 3^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}} = \frac{2^{2n} \cdot 3^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}} = 2^{2n-(2n+1)} \cdot 3^{n-(n-1)} = 2^{2n-2n-1} \cdot 3^{n-n+1} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1,5$.