Математичний Батл

ТРЕНАЖЕР: СТОВПЧИК

Вирішуй приклади, заробляй бали та змагайся!
ⓘ Правила гри

Додавання (+)

Віднімання (-)

Множення (×)

Ділення (÷)

Новачок

Спец

Гуру

☁️ Додатковий рядок зверху — це чернетка (щоб записати залишок або позику). Він не перевіряється системою.

Завантаження...

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №5 (Варіант 2)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

1. Укажіть правильну рівність.
А) $7^0=0$; Б) $4^{-3} = \frac{1}{4^3}$; В) $7^{-1}=-7$; Г) $3^{-2} = -\frac{1}{3^2}$.

2. Подайте вираз у вигляді степеня з основою $b$ 1) $b^7 : b^4 \cdot b^{-5}$; 2) $b^0 \cdot (b^{-3})^2 : b^5$; 3) $(b^{-3})^6 \cdot (b^{-2})^{-9}$.

3. Знайдіть значення виразу: 1) $81 \cdot 3^{-5}$; 2) $2,5^{-1} + (-9)^0$; 3) $2^{-5} - (-2)^{-4}$.

4. Спростіть вираз $\frac{18^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}}$, де $n$ — ціле число.

Короткий розв'язок

1. Б) $4^{-3} = \frac{1}{4^3}$

2. 1) $b^{-2}$; 2) $b^{-11}$; 3) 1.

3. 1) $\frac{1}{3}$; 2) $1\frac{2}{5}$; 3) $-\frac{1}{32}$.

4. $1,5$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми будемо використовувати визначення степеня з цілим показником та його властивості.

1. За визначенням степеня з від'ємним показником $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (для $a \neq 0$) та степеня з нульовим показником $a^0=1$ (для $a \neq 0$).
А) $7^0 = 1$, а не $0$. Рівність неправильна.
Б) $4^{-3} = \frac{1}{4^3}$. Рівність правильна.
В) $7^{-1} = \frac{1}{7}$, а не $-7$. Рівність неправильна.
Г) $3^{-2} = \frac{1}{3^2}$, а не $-\frac{1}{3^2}$. Рівність неправильна.
Відповідь: Б.

2.
1) $b^7 : b^4 \cdot b^{-5} = b^{7-4} \cdot b^{-5} = b^3 \cdot b^{-5} = b^{3+(-5)} = b^{-2}$.
2) $b^0 \cdot (b^{-3})^2 : b^5 = 1 \cdot b^{-3 \cdot 2} : b^5 = b^{-6} : b^5 = b^{-6-5} = b^{-11}$.
3) $(b^{-3})^6 \cdot (b^{-2})^{-9} = b^{-3 \cdot 6} \cdot b^{-2 \cdot (-9)} = b^{-18} \cdot b^{18} = b^{-18+18} = b^0 = 1$.

3.
1) $81 \cdot 3^{-5} = 3^4 \cdot 3^{-5} = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
2) $2,5^{-1} + (-9)^0 = (\frac{5}{2})^{-1} + 1 = \frac{2}{5} + 1 = 1\frac{2}{5}$.
3) $2^{-5} - (-2)^{-4} = \frac{1}{2^5} - \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{32} - \frac{1}{16} = \frac{1}{32} - \frac{2}{32} = -\frac{1}{32}$.

4. Розкладемо число 18 на прості множники: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.
$\frac{(2 \cdot 3^2)^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} = \frac{2^n \cdot (3^2)^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} = \frac{2^n \cdot 3^{2n}}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} = 2^{n-(n+1)} \cdot 3^{2n-(2n-1)} = 2^{n-n-1} \cdot 3^{2n-2n+1} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1,5$.