ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №5 (Варіант 3)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

1. Укажіть правильну рівність.
А) $7^{-3} = \frac{1}{7^3}$; Б) $5^{-2} = -\frac{1}{5^2}$; В) $8^{-4}=-8^4$; Г) $9^0=0$.

2. Подайте вираз у вигляді степеня з основою $x$ 1) $x^6 : x^4 \cdot x^{-5}$; 2) $x^0 \cdot (x^3)^{-4} : x^5$; 3) $(x^{-2})^6 \cdot (x^{-4})^{-3}$.

3. Знайдіть значення виразу: 1) $125 \cdot 5^{-4}$; 2) $(-7)^0 + 1,2^{-1}$; 3) $(-3)^{-4} - 3^{-3}$.

4. Спростіть вираз $\frac{3^{n+2} \cdot 2^{2n-1}}{12^n}$, де $n$ — ціле число.

Короткий розв'язок

1. А) $7^{-3} = \frac{1}{7^3}$

2. 1) $x^{-3}$; 2) $x^{-17}$; 3) 1.

3. 1) $\frac{1}{5}$; 2) $1\frac{5}{6}$; 3) $-\frac{2}{81}$.

4. $4,5$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих завдань ми будемо використовувати визначення степеня з цілим показником та його властивості.

1. За визначенням степеня з від'ємним показником $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (для $a \neq 0$) та степеня з нульовим показником $a^0=1$ (для $a \neq 0$).
А) $7^{-3} = \frac{1}{7^3}$. Рівність правильна.
Б) $5^{-2} = \frac{1}{5^2}$, а не $-\frac{1}{5^2}$. Рівність неправильна.
В) $8^{-4} = \frac{1}{8^4}$, а не $-8^4$. Рівність неправильна.
Г) $9^0=1$, а не $0$. Рівність неправильна.
Відповідь: А.

2.
1) $x^6 : x^4 \cdot x^{-5} = x^{6-4} \cdot x^{-5} = x^2 \cdot x^{-5} = x^{2+(-5)} = x^{-3}$.
2) $x^0 \cdot (x^3)^{-4} : x^5 = 1 \cdot x^{3 \cdot (-4)} : x^5 = x^{-12} : x^5 = x^{-12-5} = x^{-17}$.
3) $(x^{-2})^6 \cdot (x^{-4})^{-3} = x^{-2 \cdot 6} \cdot x^{-4 \cdot (-3)} = x^{-12} \cdot x^{12} = x^{-12+12} = x^0 = 1$.

3.
1) $125 \cdot 5^{-4} = 5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3-4} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
2) $(-7)^0 + 1,2^{-1} = 1 + (\frac{12}{10})^{-1} = 1 + (\frac{6}{5})^{-1} = 1 + \frac{5}{6} = 1\frac{5}{6}$.
3) $(-3)^{-4} - 3^{-3} = \frac{1}{(-3)^4} - \frac{1}{3^3} = \frac{1}{81} - \frac{1}{27} = \frac{1}{81} - \frac{3}{81} = -\frac{2}{81}$.

4. Розкладемо число 12 на прості множники: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
$\frac{3^{n+2} \cdot 2^{2n-1}}{12^n} = \frac{3^{n+2} \cdot 2^{2n-1}}{(2^2 \cdot 3)^n} = \frac{3^{n+2} \cdot 2^{2n-1}}{ (2^2)^n \cdot 3^n} = \frac{3^{n+2} \cdot 2^{2n-1}}{2^{2n} \cdot 3^n} = 3^{(n+2)-n} \cdot 2^{(2n-1)-2n} = 3^2 \cdot 2^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4,5$.