ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 2)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть, який з відрізків є діагоналлю чотирикутника CDMF.
А. CF; Б. DM; В. DF; Г. CD.
2. Знайдіть гострий кут паралелограма, якщо його тупий кут дорівнює 150°.
А. 40°; Б. 50°; В. 60°; Г. 30°.
3. Знайдіть периметр квадрата, сторона якого дорівнює 7 см.
А. 14 см; Б. 28 см; В. 21 см; Г. 35 см.
4. Периметр прямокутника дорівнює 16 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 2 см більша за другу.
5. ABCD – ромб, $\angle CDB = 55°$. Знайдіть кути ромба.
6. На малюнку $\angle EFN = \angle FNM$, $\angle FNE = \angle NFM$. Доведіть, що EFMN – паралелограм.
7. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 3, 4, 7. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?
8. Висоти, проведені з вершини тупого кута ромба, утворюють між собою кут 60°. Знайдіть кути ромба.
9. Бісектриса кута B паралелограма ABCD ділить сторону AD на два відрізки AK і KD так, що $AK : KD = 4 : 3$. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 66 см.
Короткий розв'язок
1. В) DF
2. $180° - 150° = 30° \implies$ Г
3. $4 \cdot 7 = 28$ (см) $\implies$ Б
4. $2(x + x+2) = 16 \implies 4x=12 \implies x=3$. Сторони: 3 см, 5 см.
5. $\angle C = 180° - 2 \cdot 55° = 70°$. $\angle D = 180° - 70° = 110°$. Кути: 70°, 110°.
6. $\triangle EFN = \triangle M N F$ (за ІІ озн.). $EF=MN, EN=MF \implies$ паралелограм.
7. $x+3x+4x+7x=360° \implies 15x=360° \implies x=24°$. Кути: 24°, 72°, 96°, 168°. Опуклий.
8. Гострий кут ромба дорівнює куту між висотами, $60°$. Тупий кут $180°-60°=120°$.
9. $AB = AK = 4x$. $P = 2(4x+7x)=66 \implies 22x=66 \implies x=3$. Сторони: 12 см, 21 см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості чотирикутників та паралелограмів.
1. Діагональ чотирикутника сполучає його несусідні вершини. Для вершин C, D, M, F несусідніми є C і M, D і F. Отже, діагональ - DF. Відповідь: В.
2. Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Гострий кут: $180° - 150° = 30°$. Відповідь: Г.
3. Периметр квадрата $P=4a$. $P = 4 \cdot 7 = 28$ см. Відповідь: Б.
4. Нехай одна сторона $x$ см, тоді друга $x+2$ см. $P=2(a+b)$.
$2(x + x+2) = 16 \implies 2x+2=8 \implies 2x=6 \implies x=3$ (см).
Друга сторона: $3+2=5$ (см). Відповідь: 3 см і 5 см.
5. У ромбі трикутник CDB рівнобедрений ($CD=CB$). Отже, $\angle CBD = \angle CDB = 55°$. Кут $\angle C = 180° - (55°+55°) = 70°$. Сусідній кут $\angle D = 180° - 70° = 110°$. Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.
6. Розглянемо $\triangle EFN$ і $\triangle M N F$. У них: сторона $FN$ – спільна, $\angle EFN = \angle FNM$ (за умовою), $\angle FNE = \angle NFM$ (за умовою). Отже, $\triangle EFN = \triangle M N F$ за другою ознакою рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами). З рівності трикутників випливає, що $EF=MN$ і $EN=MF$. Оскільки протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то EFMN – паралелограм. Доведено.
7. Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності. $x + 3x + 4x + 7x = 360° \implies 15x = 360° \implies x=24°$. Кути: $1 \cdot 24°=24°$, $3 \cdot 24°=72°$, $4 \cdot 24°=96°$, $7 \cdot 24°=168°$. Оскільки всі кути менші за 180°, чотирикутник є опуклим.
8. Кут між висотами, проведеними з вершини тупого кута ромба, дорівнює гострому куту ромба. Отже, гострий кут ромба дорівнює 60°. Тупий кут: $180° - 60° = 120°$. Відповідь: 60° і 120°.
9. Бісектриса BK відтинає від паралелограма рівнобедрений трикутник ABK ($\angle ABK = \angle KBC$ і $\angle KBC = \angle AKB$ як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній BK, тому $\angle ABK = \angle AKB$). Отже, $AB=AK$. Нехай $AK=4x$, $KD=3x$. Тоді $AD = AK+KD = 7x$, а $AB=AK=4x$. Периметр $P=2(AB+AD)$.
$2(4x+7x) = 66 \implies 22x=66 \implies x=3$.
Сторони: $AB=4 \cdot 3=12$ см, $AD=7 \cdot 3=21$ см. Відповідь: 12 см, 21 см.
