ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть, який з відрізків є діагоналлю чотирикутника BLKT.
А. BK; Б. BL; В. BT; Г. KT.
2. Знайдіть тупий кут паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 25°.
А. 145°; Б. 155°; В. 65°; Г. 165°.
3. Знайдіть периметр квадрата, сторона якого дорівнює 9 см.
А. 18 см; Б. 27 см; В. 36 см; Г. 54 см.
4. Периметр прямокутника дорівнює 28 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 4 см менша від другої.
5. ABCD – ромб, $\angle ABD = 35°$. Знайдіть кути ромба.
6. На малюнку $CD = KL$, $\angle CDL = \angle DLK$. Доведіть, що CDKL – паралелограм.
7. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 4, 8. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?
8. Висоти, проведені з вершини гострого кута ромба, утворюють між собою кут 130°. Знайдіть кути ромба.
9. Бісектриса кута A паралелограма ABCD ділить сторону BC на відрізки BK і KC так, що $BK : KC = 2 : 7$. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 110 см.
Короткий розв'язок
1. А) BK
2. $180° - 25° = 155° \implies$ Б
3. $4 \cdot 9 = 36$ (см) $\implies$ В
4. $2(x + x-4) = 28 \implies 4x=36 \implies x=9$. Сторони: 5 см, 9 см.
5. $\angle B = 2 \cdot 35° = 70°$. $\angle A = 180° - 70° = 110°$. Кути: 70°, 110°.
6. $\angle CDL = \angle DLK \implies CD \parallel KL$. $CD=KL, CD \parallel KL \implies$ паралелограм.
7. $x+2x+4x+8x=360° \implies 15x=360° \implies x=24°$. Кути: 24°, 48°, 96°, 192°. Неопуклий.
8. Тупий кут ромба дорівнює куту між висотами, $130°$. Гострий кут $180°-130°=50°$.
9. $AB = BK = 2x$. $P = 2(2x+9x)=110 \implies 22x=110 \implies x=5$. Сторони: 10 см, 45 см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості чотирикутників та паралелограмів.
1. Діагональ чотирикутника сполучає його несусідні вершини. Для вершин B, L, K, T несусідніми є B і K, L і T. Отже, діагональ - BK. Відповідь: А.
2. Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Тупий кут: $180° - 25° = 155°$. Відповідь: Б.
3. Периметр квадрата $P=4a$. $P = 4 \cdot 9 = 36$ см. Відповідь: В.
4. Нехай більша сторона $x$ см, тоді менша $x-4$ см. $P=2(a+b)$.
$2(x + x-4) = 28 \implies 2x-4=14 \implies 2x=18 \implies x=9$ (см).
Сторони: 9 см і $9-4=5$ см. Відповідь: 5 см і 9 см.
5. Діагональ ромба є бісектрисою кута. Отже, $\angle B = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 35° = 70°$. Сусідній кут $\angle A = 180° - 70° = 110°$. Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.
6. Кути $\angle CDL$ і $\angle DLK$ є внутрішніми різносторонніми при прямих CD і KL та січній DL. Оскільки за умовою ці кути рівні, то прямі CD і KL паралельні. В чотирикутнику CDKL сторони CD і KL паралельні й рівні. За ознакою, цей чотирикутник – паралелограм. Доведено.
7. Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності. $x + 2x + 4x + 8x = 360° \implies 15x = 360° \implies x=24°$. Кути: $1 \cdot 24°=24°$, $2 \cdot 24°=48°$, $4 \cdot 24°=96°$, $8 \cdot 24°=192°$. Оскільки один з кутів більший за 180°, чотирикутник є неопуклим.
8. Кут між висотами, проведеними з вершини гострого кута ромба, дорівнює тупому куту ромба. Отже, тупий кут ромба дорівнює 130°. Гострий кут: $180° - 130° = 50°$. Відповідь: 50° і 130°.
9. Бісектриса AK кута A відтинає від паралелограма рівнобедрений трикутник ABK ($\angle BKA = \angle KAD$ як внутрішні різносторонні, $\angle BAK = \angle KAD$ за умовою $\implies \angle BKA = \angle BAK$). Отже, $AB=BK$. Нехай $BK=2x$, $KC=7x$. Тоді $BC = BK+KC = 9x$, а $AB=BK=2x$. Периметр $P=2(AB+BC)$.
$2(2x+9x) = 110 \implies 22x=110 \implies x=5$.
Сторони: $AB=2 \cdot 5=10$ см, $BC=9 \cdot 5=45$ см. Відповідь: 10 см, 45 см.
