ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть, який з відрізків є діагоналлю чотирикутника CLMK.
А. MK; Б. CL; В. LM; Г. CM.
2. Знайдіть гострий кут паралелограма, якщо його тупий кут дорівнює 110°.
А. 70°; Б. 20°; В. 60°; Г. 80°.
3. Знайдіть сторону квадрата, якщо його периметр дорівнює 24 см.
А. 8 см; Б. 6 см; В. 4 см; Г. 12 см.
4. Периметр прямокутника дорівнює 20 см. Знайдіть його сторони, якщо одна з них на 4 см більша за другу.
5. ABCD – ромб, $\angle BAC = 65°$. Знайдіть кути ромба.
6. На малюнку $\angle NMK = \angle MKL$, $\angle NKM = \angle KML$. Доведіть, що MNKL – паралелограм.
7. Знайдіть кути чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 5, 6, 8. Опуклим чи неопуклим є цей чотирикутник?
8. Висоти, проведені з вершини тупого кута ромба, утворюють між собою кут 30°. Знайдіть кути ромба.
9. Бісектриса кута C паралелограма ABCD ділить сторону AD на відрізки DM і MA так, що $DM : MA = 5 : 2$. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 48 см.
Короткий розв'язок
1. Г) CM
2. $180° - 110° = 70° \implies$ А
3. $24 / 4 = 6$ (см) $\implies$ Б
4. $2(x + x+4) = 20 \implies 4x=12 \implies x=3$. Сторони: 3 см, 7 см.
5. $\angle A = 180° - 2 \cdot 65° = 50°$. $\angle B = 180° - 50° = 130°$. Кути: 50°, 130°.
6. $\triangle NMK = \triangle LKM$ (за ІІ озн.). $NM=LK, NK=LM \implies$ паралелограм.
7. $x+5x+6x+8x=360° \implies 20x=360° \implies x=18°$. Кути: 18°, 90°, 108°, 144°. Опуклий.
8. Гострий кут ромба дорівнює куту між висотами, $30°$. Тупий кут $180°-30°=150°$.
9. $CD = DM = 5x$. $P = 2(5x+7x)=48 \implies 24x=48 \implies x=2$. Сторони: 10 см, 14 см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості чотирикутників та паралелограмів.
1. Діагональ чотирикутника сполучає його несусідні вершини. Для вершин C, L, M, K несусідніми є C і M, L і K. Отже, діагональ - CM. Відповідь: Г.
2. Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Гострий кут: $180° - 110° = 70°$. Відповідь: А.
3. Периметр квадрата $P=4a$. Сторона $a = P/4 = 24/4 = 6$ см. Відповідь: Б.
4. Нехай менша сторона $x$ см, тоді більша $x+4$ см. $P=2(a+b)$.
$2(x + x+4) = 20 \implies 2x+4=10 \implies 2x=6 \implies x=3$ (см).
Сторони: 3 см і $3+4=7$ см. Відповідь: 3 см і 7 см.
5. У ромбі трикутник ABC рівнобедрений ($AB=BC$). Отже, $\angle BCA = \angle BAC = 65°$. Кут $\angle B = 180° - (65°+65°) = 50°$. Сусідній кут $\angle A = 180° - 50° = 130°$. Відповідь: 50°, 130°, 50°, 130°.
6. Розглянемо $\triangle NMK$ і $\triangle LKM$. У них: сторона $MK$ – спільна, $\angle NMK = \angle MKL$ (за умовою), $\angle NKM = \angle KML$ (за умовою). Отже, $\triangle NMK = \triangle LKM$ за другою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників випливає, що $NM=LK$ і $NK=LM$. Оскільки протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то MNKL – паралелограм. Доведено.
7. Нехай $x$ – коефіцієнт пропорційності. $x + 5x + 6x + 8x = 360° \implies 20x = 360° \implies x=18°$. Кути: $1 \cdot 18°=18°$, $5 \cdot 18°=90°$, $6 \cdot 18°=108°$, $8 \cdot 18°=144°$. Оскільки всі кути менші за 180°, чотирикутник є опуклим.
8. Кут між висотами, проведеними з вершини тупого кута ромба, дорівнює гострому куту ромба. Отже, гострий кут ромба дорівнює 30°. Тупий кут: $180° - 30° = 150°$. Відповідь: 30° і 150°.
9. Бісектриса CM кута C відтинає від паралелограма рівнобедрений трикутник CDM ($\angle DMC = \angle BCM$ як внутрішні різносторонні, $\angle DCM = \angle BCM$ за умовою $\implies \angle DMC = \angle DCM$). Отже, $CD=DM$. Нехай $DM=5x$, $MA=2x$. Тоді $AD = DM+MA = 7x$, а $CD=DM=5x$. Периметр $P=2(CD+AD)$.
$2(5x+7x) = 48 \implies 24x=48 \implies x=2$.
Сторони: $CD=5 \cdot 2=10$ см, $AD=7 \cdot 2=14$ см. Відповідь: 10 см, 14 см.
