ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №4 (Варіант 3)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть довжину середньої лінії трапеції, основи якої дорівнюють 4 см і 14 см.
А. 10 см; Б. 7 см; В. 2 см; Г. 9 см.
2. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см. Знайдіть довжину відрізка, що сполучає середини бічних сторін трикутника.
3. На малюнку $C_1C_2 = C_2C_3$, $C_1D_1 \parallel C_2D_2 \parallel C_3D_3$, $D_1D_2 : C_1C_2 = 7 : 5$, $D_2D_3 - C_2C_3 = 6$ см. Знайдіть довжину відрізка $D_1D_3$.
4. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три частини. Знайдіть довжини цих частин, якщо основи трапеції дорівнюють 6 см і 16 см.
Короткий розв'язок
1. $(4 + 14) / 2 = 18 / 2 = 9$ см $\implies$ Г.
2. Довжина = $16 / 2 = 8$ см.
3. $C_1C_2 = C_2C_3 = x$. За теоремою Фалеса $D_1D_2 = D_2D_3 = y$. $y/x = 7/5 \implies y=7x/5$. $y-x=6 \implies 7x/5 - x = 6 \implies 2x/5=6 \implies x=15$. $y=21$. $D_1D_3 = 2y = 42$ см.
4. Частина 1 = $6/2=3$ см. Частина 3 = $6/2=3$ см. Середня лінія = $(6+16)/2=11$ см. Частина 2 = $11-3-3=5$ см. Відрізки: 3 см, 5 см, 3 см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Застосовуємо властивості середньої лінії трапеції та середньої лінії трикутника, а також узагальнену теорему Фалеса.
1. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ.
Довжина = $(4 + 14) / 2 = 18 / 2 = 9$ см.
Відповідь: Г.
2. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трикутника, є його середньою лінією. Середня лінія паралельна основі і дорівнює її половині.
Довжина відрізка = $16 / 2 = 8$ см.
Відповідь: 8 см.
3. За умовою, паралельні прямі $C_1D_1, C_2D_2, C_3D_3$ відтинають на одній стороні кута рівні відрізки $C_1C_2 = C_2C_3$. За теоремою Фалеса, вони відтинають рівні відрізки і на другій стороні кута: $D_1D_2 = D_2D_3$.
Позначимо $C_1C_2 = C_2C_3 = x$ і $D_1D_2 = D_2D_3 = y$.
З умови $D_1D_2 : C_1C_2 = 7 : 5$ маємо $y : x = 7 : 5$, звідки $y = 7x/5$.
З умови $D_2D_3 - C_2C_3 = 6$ маємо $y - x = 6$.
Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:
$7x/5 - x = 6$
$2x/5 = 6 \implies 2x=30 \implies x = 15$ см.
Тоді $y = (7 \cdot 15) / 5 = 21$ см.
Потрібно знайти довжину відрізка $D_1D_3 = D_1D_2 + D_2D_3 = y + y = 2y$.
$D_1D_3 = 2 \cdot 21 = 42$ см.
Відповідь: 42 см.
4. Нехай у трапеції основи дорівнюють 6 см і 16 см. Довжина її середньої лінії дорівнює півсумі основ: $MN = (6+16)/2 = 11$ см.
Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три відрізки. Два крайні відрізки є середніми лініями трикутників, утворених діагоналями та меншою основою трапеції. Довжина кожного з цих крайніх відрізків дорівнює половині меншої основи.
Довжина крайніх частин = $6 / 2 = 3$ см.
Щоб знайти довжину середньої частини, віднімемо від загальної довжини середньої лінії довжини двох крайніх частин:
Довжина середньої частини = $11 - 3 - 3 = 5$ см.
Отже, довжини частин дорівнюють 3 см, 5 см і 3 см.
Відповідь: 3 см, 5 см, 3 см.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.