ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №4 (Варіант 4)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Укажіть довжину середньої лінії трапеції, основи якої дорівнюють 4 см і 18 см.
А. 2 см; Б. 11 см; В. 9 см; Г. 10 см.
2. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін рівнобедреного трикутника, дорівнює 8 см. Знайдіть основу трикутника.
3. На малюнку $K_1K_2 = K_2K_3$, $A_1K_1 \parallel A_2K_2 \parallel A_3K_3$, $K_1K_2 : A_1A_2 = 3 : 2$, $K_2K_3 - A_2A_3 = 5$ см. Знайдіть довжину відрізка $A_1A_3$.
4. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три частини. Визначте довжини цих частин, якщо основи трапеції дорівнюють 6 см і 14 см.
Короткий розв'язок
1. $(4 + 18) / 2 = 22 / 2 = 11$ см $\implies$ Б.
2. Основа = $2 \cdot 8 = 16$ см.
3. $K_1K_2 = K_2K_3 = x$. За теоремою Фалеса $A_1A_2 = A_2A_3 = y$. $x/y = 3/2 \implies x=3y/2$. $x-y=5 \implies 3y/2 - y = 5 \implies y/2=5 \implies y=10$. $A_1A_3 = 2y = 20$ см.
4. Частина 1 = $6/2=3$ см. Частина 3 = $6/2=3$ см. Середня лінія = $(6+14)/2=10$ см. Частина 2 = $10-3-3=4$ см. Відрізки: 3 см, 4 см, 3 см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Застосовуємо властивості середньої лінії трапеції та середньої лінії трикутника, а також узагальнену теорему Фалеса.
1. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ.
Довжина = $(4 + 18) / 2 = 22 / 2 = 11$ см.
Відповідь: Б.
2. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трикутника, є його середньою лінією. Середня лінія дорівнює половині основи. Отже, основа трикутника вдвічі довша за середню лінію.
Основа = $2 \cdot 8 = 16$ см.
Відповідь: 16 см.
3. За умовою, паралельні прямі $A_1K_1, A_2K_2, A_3K_3$ відтинають на одній стороні кута рівні відрізки $K_1K_2 = K_2K_3$. За теоремою Фалеса, вони відтинають рівні відрізки і на другій стороні кута: $A_1A_2 = A_2A_3$.
Позначимо $K_1K_2 = K_2K_3 = x$ і $A_1A_2 = A_2A_3 = y$.
З умови $K_1K_2 : A_1A_2 = 3 : 2$ маємо $x : y = 3 : 2$, звідки $x = 3y/2$.
З умови $K_2K_3 - A_2A_3 = 5$ маємо $x - y = 5$.
Підставимо вираз для $x$ у друге рівняння:
$3y/2 - y = 5$
$y/2 = 5 \implies y = 10$ см.
Потрібно знайти довжину відрізка $A_1A_3 = A_1A_2 + A_2A_3 = y + y = 2y$.
$A_1A_3 = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Відповідь: 20 см.
4. Нехай у трапеції основи дорівнюють 6 см і 14 см. Довжина її середньої лінії дорівнює півсумі основ: $MN = (6+14)/2 = 10$ см.
Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три відрізки. Два крайні відрізки є середніми лініями трикутників, утворених діагоналями та меншою основою трапеції. Довжина кожного з цих крайніх відрізків дорівнює половині меншої основи.
Довжина крайніх частин = $6 / 2 = 3$ см.
Щоб знайти довжину середньої частини, віднімемо від загальної довжини середньої лінії довжини двох крайніх частин:
Довжина середньої частини = $10 - 3 - 3 = 4$ см.
Отже, довжини частин дорівнюють 3 см, 4 см і 3 см.
Відповідь: 3 см, 4 см, 3 см.
Коментарі