ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №4 (Варіант 1)
ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу ».
Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).
Умова
1. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 16 см. Укажіть довжину середньої лінії трапеції.
А. 8 см; Б. 10 см; В. 11 см; Г. 3 см.
2. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін рівнобедреного трикутника, дорівнює 7 см. Знайдіть основу трикутника.
3. На малюнку $A_1A_2 = A_2A_3$, $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$, $A_1A_2 : B_1B_2 = 5 : 6$, $B_2B_3 - A_2A_3 = 7$ см. Знайдіть довжину відрізка $B_1B_3$.
4. Діагоналі трапеції ділять її середню лінію на три частини. Знайдіть довжини цих частин, якщо основи трапеції дорівнюють 8 см і 10 см.
Короткий розв'язок
1. $(6 + 16) / 2 = 22 / 2 = 11$ см $\implies$ В.
2. Основа = $2 \cdot 7 = 14$ см.
3. $A_1A_2 = A_2A_3 = x$. За теоремою Фалеса $B_1B_2 = B_2B_3 = y$. $x/y = 5/6 \implies y=6x/5$. $y-x=7 \implies 6x/5 - x = 7 \implies x/5=7 \implies x=35$. $y=42$. $B_1B_3 = 2y = 84$ см.
4. Частина 1 = $8/2=4$ см. Частина 3 = $8/2=4$ см. Середня лінія = $(8+10)/2=9$ см. Частина 2 = $9-4-4=1$ см. Відрізки: 4 см, 1 см, 4 см.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Застосовуємо властивості середньої лінії трапеції та середньої лінії трикутника, а також узагальнену теорему Фалеса.
1. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ.
Довжина = $(6 + 16) / 2 = 22 / 2 = 11$ см.
Відповідь: В.
2. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трикутника, є його середньою лінією. Середня лінія дорівнює половині основи, якій вона паралельна. Отже, основа трикутника вдвічі довша за середню лінію.
Основа = $2 \cdot 7 = 14$ см.
Відповідь: 14 см.
3. За умовою, паралельні прямі $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ відтинають на одній стороні кута рівні відрізки $A_1A_2 = A_2A_3$. За теоремою Фалеса, вони відтинають рівні відрізки і на другій стороні кута: $B_1B_2 = B_2B_3$.
Позначимо $A_1A_2 = A_2A_3 = x$ і $B_1B_2 = B_2B_3 = y$.
З умови $A_1A_2 : B_1B_2 = 5 : 6$ маємо $x : y = 5 : 6$, звідки $y = 6x/5$.
З умови $B_2B_3 - A_2A_3 = 7$ маємо $y - x = 7$.
Підставимо вираз для $y$ у друге рівняння:
$6x/5 - x = 7$
$x/5 = 7 \implies x = 35$ см.
Тоді $y = (6 \cdot 35) / 5 = 42$ см.
Потрібно знайти довжину відрізка $B_1B_3 = B_1B_2 + B_2B_3 = y + y = 2y$.
$B_1B_3 = 2 \cdot 42 = 84$ см.
Відповідь: 84 см.
4. Нехай у трапеції ABCD основи BC=8 см і AD=10 см. Середня лінія MN перетинає діагоналі AC і BD в точках P і Q.
Довжина всієї середньої лінії $MN = (BC+AD)/2 = (8+10)/2 = 9$ см.
Відрізок MP є середньою лінією трикутника ABC. Тому $MP = BC/2 = 8/2 = 4$ см.
Відрізок QN є середньою лінією трикутника BCD. Тому $QN = BC/2 = 8/2 = 4$ см.
Середній з трьох відрізків PQ можна знайти, віднявши від довжини всієї середньої лінії довжини двох крайніх відрізків:
$PQ = MN - MP - QN = 9 - 4 - 4 = 1$ см.
Отже, довжини частин, на які діагоналі ділять середню лінію, дорівнюють 4 см, 1 см і 4 см.
Відповідь: 4 см, 1 см, 4 см.
