ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №6 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $MA$ — відрізок дотичної до кола. Дві січні перетинають коло відповідно в точках $C$ і $D$, $K$ і $L$. Яка з рівностей правильна?
А. $MA^2 = MK \cdot KL$
Б. $MA^2 = MC \cdot MD$
В. $MC \cdot CD = MK \cdot KL$
Г. $MC \cdot MD = MK \cdot KL$

2. Катет прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а його проєкція на гіпотенузу — 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

3. Сторони трикутника дорівнюють 9 см і 6 см, а бісектриса трикутника, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки, різниця яких дорівнює 1 см. Знайдіть периметр трикутника.

4. Коло, вписане у трапецію, точкою дотику ділить бічну сторону на відрізки 2 см і 8 см завдовжки. Знайдіть висоту трапеції.

Короткий розв'язок

1. За властивістю дотичної та січної: $MA^2 = MC \cdot MD$ (теорема про квадрат дотичної).
Відповідь: Б.

2. Нехай $a = 8$ см, $a_c = 4$ см. Формула: $a^2 = a_c \cdot c$.
$8^2 = 4 \cdot c \implies 64 = 4c \implies c = 16$ см.

3. $\frac{x}{y} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$. Нехай $x = 1.5y$.
$x - y = 1 \implies 1.5y - y = 1 \implies 0.5y = 1 \implies y = 2$ см.
$x = 2 + 1 = 3$ см. Третя сторона: $3 + 2 = 5$ см.
$P = 9 + 6 + 5 = 20$ см.

4. Радіус вписаного кола: $r = \sqrt{m \cdot n} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$ см.
Висота трапеції: $h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо метричні співвідношення у прямокутному трикутнику (середнє пропорційне), властивість бісектриси трикутника та властивості дотичної до кола.

1. Згідно з теоремою про дотичну і січну, квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку відрізка січної (від зовнішньої точки до другої точки перетину з колом) на її зовнішню частину.
Для січної, що проходить через точки $C$ і $D$: $MA^2 = MC \cdot MD$.
Відповідь: Б.

$$ a^2 = c_a \cdot c $$

2. У прямокутному трикутнику квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи та проєкції цього катета на гіпотенузу.
Маємо $a = 8$ см, $a_c = 4$ см. Нехай $c$ — гіпотенуза.
Підставимо значення у формулу:
$8^2 = 4 \cdot c$
$64 = 4c$
$c = \frac{64}{4}$
$c = 16$ (см).
Відповідь: 16 см.

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

3. Нехай дано $\triangle ABC$, де $AB=9$ см, $BC=6$ см. $BD$ — бісектриса. За властивістю бісектриси, вона ділить третю сторону $AC$ на відрізки $AD$ і $DC$, пропорційні прилеглим сторонам.
$\frac{AD}{DC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
Позначимо $AD = 3x$, $DC = 2x$. За умовою різниця відрізків дорівнює 1 см.
$3x - 2x = 1 \implies x = 1$.
Тоді $AD = 3 \cdot 1 = 3$ см, $DC = 2 \cdot 1 = 2$ см.
Сторона $AC = AD + DC = 3 + 2 = 5$ см.
Периметр $P = AB + BC + AC = 9 + 6 + 5 = 20$ см.
Відповідь: 20 см.

$$ r = \sqrt{m \cdot n} $$

4. Центр кола, вписаного у трапецію, лежить на перетині бісектрис її кутів. Сума кутів при бічній стороні трапеції дорівнює $180^\circ$, тому кут між їх бісектрисами — прямий ($90^\circ$).
Радіус вписаного кола є висотою прямокутного трикутника, проведеною до гіпотенузи (бічної сторони). За властивістю висоти у прямокутному трикутнику (середнє геометричне):
$r = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$ см.
Висота трапеції дорівнює діаметру вписаного кола:
$h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.
Відповідь: 8 см.