ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №6 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $KC$ — відрізок дотичної до кола. Дві січні перетинають коло відповідно в точках $A$ і $B$, $M$ і $N$. Яка з рівностей правильна?
А. $KA \cdot AB = KM \cdot KN$
Б. $KC^2 = KA \cdot AB$
В. $KA \cdot KB = KM \cdot KN$
Г. $KC^2 = KM \cdot MN$

2. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а гіпотенуза — 12 см. Знайдіть проєкцію цього катета на гіпотенузу.

3. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця яких 1 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві інші його сторони дорівнюють 10 см і 8 см.

4. Коло, вписане у трапецію, точкою дотику ділить бічну сторону на відрізки 1 см і 9 см завдовжки. Знайдіть висоту трапеції.

Короткий розв'язок

1. Властивість січних, проведених з однієї точки: $KA \cdot KB = KM \cdot KN$ (і обидва добутки дорівнюють $KC^2$).
Відповідь: В.

2. $a = 6$ см, $c = 12$ см. Формула: $a^2 = c \cdot a_c$.
$36 = 12 \cdot a_c \implies a_c = 3$ см.

3. Сторони $10$ і $8$. $\frac{x}{y} = \frac{10}{8} = 1.25$. $x - y = 1$.
$1.25y - y = 1 \implies 0.25y = 1 \implies y = 4$.
$x = 4 + 1 = 5$. Третя сторона: $4 + 5 = 9$.
$P = 10 + 8 + 9 = 27$ см.

4. Радіус вписаного кола: $r = \sqrt{m \cdot n} = \sqrt{1 \cdot 9} = 3$ см.
Висота трапеції: $h = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо властивості січних до кола, метричні співвідношення у прямокутному трикутнику (середнє пропорційне) та властивість бісектриси трикутника.

1. За теоремою про дві січні, проведені до кола з однієї точки поза колом, добуток однієї січної на її зовнішню частину дорівнює добутку іншої січної на її зовнішню частину. Також, за теоремою про дотичну і січну, кожен з цих добутків дорівнює квадрату відрізка дотичної ($KC^2$).
Отже, правильна рівність: $KA \cdot KB = KM \cdot KN$.
Відповідь: В.

$$ a^2 = a_c \cdot c $$

2. У прямокутному трикутнику квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи на проєкцію цього катета на гіпотенузу.
Дано: катет $a = 6$ см, гіпотенуза $c = 12$ см. Нехай $a_c$ — шукана проєкція.
Підставимо у формулу:
$6^2 = 12 \cdot a_c$
$36 = 12 \cdot a_c$
$a_c = \frac{36}{12} = 3$ (см).
Відповідь: 3 см.

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

3. Нехай сторони трикутника $AB = 10$ см, $BC = 8$ см. Бісектриса $BD$ ділить сторону $AC$ на відрізки $AD$ і $DC$. За властивістю бісектриси:
$\frac{AD}{DC} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$.
Нехай $DC = y$, тоді $AD = 1.25y$.
За умовою різниця відрізків дорівнює 1 см. Оскільки $1.25y > y$, то $AD - DC = 1$.
$1.25y - y = 1$
$0.25y = 1$
$y = 4$ (см).
Тоді $AD = 1.25 \cdot 4 = 5$ (см).
Сторона $AC = AD + DC = 5 + 4 = 9$ см.
Периметр $P = 10 + 8 + 9 = 27$ см.
Відповідь: 27 см.

$$ r = \sqrt{m \cdot n} $$

4. Оскільки трапеція описана навколо кола, центр кола знаходиться на перетині бісектрис кутів трапеції. Бісектриси кутів, прилеглих до бічної сторони, перетинаються під прямим кутом. Радіус вписаного кола $r$ є висотою цього прямокутного трикутника, проведеною до гіпотенузи.
За властивістю висоти у прямокутному трикутнику (середнє геометричне відрізків гіпотенузи):
$r = \sqrt{1 \cdot 9} = \sqrt{9} = 3$ см.
Висота трапеції $h$ дорівнює діаметру кола:
$h = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Відповідь: 6 см.