ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №6 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. $AB$ — відрізок дотичної до кола. Дві січні перетинають коло відповідно в точках $C$ і $D$, $K$ і $L$. Яка з рівностей правильна?
А. $AC \cdot CD = AK \cdot AL$
Б. $AC \cdot AD = AK \cdot KL$
В. $AB^2 = AC \cdot AD$
Г. $AB^2 = AK \cdot KL$

2. Катет прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а його проєкція на гіпотенузу — 4 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

3. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, різниця яких 2 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо дві інші сторони дорівнюють 6 см і 10 см.

4. Коло, вписане у трапецію, точкою дотику ділить бічну сторону на відрізки 1 см і 16 см завдовжки. Знайдіть висоту трапеції.

Короткий розв'язок

1. За теоремою про квадрат дотичної: $AB^2 = AC \cdot AD$. Відповідь: В.

2. $a = 10$ см, $a_c = 4$ см. $a^2 = a_c \cdot c \implies 100 = 4c \implies c = 25$ см.

3. $\frac{x}{y} = \frac{6}{10} = 0.6$. $y - x = 2$.
$y - 0.6y = 2 \implies 0.4y = 2 \implies y = 5$ см. $x = 5 - 2 = 3$ см.
Третя сторона: $3 + 5 = 8$ см. $P = 6 + 10 + 8 = 24$ см.

4. $r = \sqrt{m \cdot n} = \sqrt{1 \cdot 16} = 4$ см.
$h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Застосовуємо метричні співвідношення у прямокутному трикутнику (середнє пропорційне), властивість бісектриси трикутника та властивості дотичної до кола.

1. Згідно з теоремою про дотичну і січну, квадрат відрізка дотичної, проведеної з точки поза колом, дорівнює добутку січної на її зовнішню частину. Для дотичної $AB$ та січної, що проходить через точки $C$ і $D$, маємо: $AB^2 = AC \cdot AD$.
Відповідь: В.

$$ a^2 = a_c \cdot c $$

2. У прямокутному трикутнику катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та його проєкцією на гіпотенузу.
Дано: $a = 10$ см, $a_c = 4$ см. Потрібно знайти $c$.
Підставимо дані у формулу:
$10^2 = 4 \cdot c$
$100 = 4c$
$c = 100 : 4 = 25$ (см).
Відповідь: 25 см.

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

3. Нехай сторони трикутника дорівнюють $a = 6$ см та $b = 10$ см. Бісектриса ділить третю сторону $c$ на відрізки $x$ та $y$, пропорційні прилеглим сторонам.
Маємо пропорцію: $\frac{x}{y} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Позначимо $x = 3k$, $y = 5k$. За умовою різниця відрізків дорівнює 2 см:
$5k - 3k = 2 \implies 2k = 2 \implies k = 1$.
Відрізки третьої сторони: $x = 3$ см, $y = 5$ см.
Довжина третьої сторони: $c = 3 + 5 = 8$ см.
Периметр трикутника: $P = 6 + 10 + 8 = 24$ (см).
Відповідь: 24 см.

$$ r = \sqrt{m \cdot n} $$

4. У трапеції, в яку вписано коло, радіус $r$ є висотою прямокутного трикутника, утвореного центром кола та кінцями бічної сторони. Він дорівнює середньому геометричному відрізків, на які точка дотику ділить бічну сторону.
$r = \sqrt{1 \cdot 16} = \sqrt{16} = 4$ см.
Висота трапеції $h$ дорівнює діаметру вписаного кола:
$h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ (см).
Відповідь: 8 см.