ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 1)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. На малюнку зображено $\triangle KLM$ ($\angle L = 90^\circ$). Укажіть правильну рівність.
А. $\cos K = \frac{15}{17}$; Б. $\text{tg} M = \frac{15}{8}$; В. $\sin M = \frac{8}{17}$; Г. $\cos M = \frac{8}{17}$.

2. У трикутнику $ABC$ $\angle C = 90^\circ$. Знайдіть $BC$, якщо $AB = 10$ см і $\cos B = 0,8$.

3. Розв'яжіть трикутник $ABC$, у якого $\angle C = 90^\circ$, $AB = 4$ см, $AC = 2\sqrt{2}$ см.

4. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 18 см. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника (з точністю до градуса).

Короткий розв'язок

1. $\sin M = \frac{KL}{KM} = \frac{8}{17} \implies$ В.

2. $\cos B = \frac{BC}{AB} \implies BC = 10 \cdot 0,8 = 8$ см.

3. $BC = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см. $\sin A = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \angle A = 45^\circ$, $\angle B = 45^\circ$.

4. $\text{tg} \alpha = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \implies \alpha \approx 18^\circ$. Кут між діагоналями $2\alpha \approx 37^\circ$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо означення тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника (синус, косинус, тангенс) та теорему Піфагора.

1. Для $\triangle KLM$ з прямим кутом $L$ розглянемо тригонометричні відношення для кута $M$:
$\sin M = \frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}} = \frac{KL}{KM} = \frac{8}{17}$.
Це відповідає варіанту В.
Відповідь: В.

2. У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) косинус гострого кута $B$ дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи:

$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$

Звідси $BC = AB \cdot \cos B = 10 \cdot 0,8 = 8$ (см).
Відповідь: 8 см.

3. Знайдемо катет $BC$ за теоремою Піфагора:

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ (см).}$$

Оскільки $AC = BC = 2\sqrt{2}$ см, то $\triangle ABC$ — рівнобедрений прямокутний трикутник. Отже, гострі кути дорівнюють по $45^\circ$.
Перевірка через синус: $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \angle A = 45^\circ$.
Тоді $\angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Відповідь: $BC = 2\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 45^\circ$.

4. Нехай $ABCD$ — прямокутник зі сторонами $AB = 18$ см і $BC = 6$ см. Діагоналі прямокутника перетинаються в точці $O$ і діляться нею навпіл. Проведемо висоту $OH$ трикутника $AOB$ до сторони $AB$. У прямокутному трикутнику $OBH$: $BH = 9$ см, $OH = 3$ см.
Нехай $\alpha$ — кут між діагоналлю та більшою стороною ($\angle OBH$). Тоді:

$$\text{tg} \alpha = \frac{OH}{BH} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0,3333$$

За таблицями $\alpha \approx 18^\circ 26'$. Кут між діагоналями, що лежить проти меншої сторони, дорівнює $\beta = 2\alpha \approx 36^\circ 52' \approx 37^\circ$.
Відповідь: $37^\circ$.