ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 3)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. На малюнку зображено $\triangle CDF$ ($\angle D = 90^\circ$). Укажіть правильну рівність.
А. $\text{tg} C = \frac{12}{5}$; Б. $\sin F = \frac{12}{13}$; В. $\cos C = \frac{5}{13}$; Г. $\text{tg} F = \frac{12}{13}$.

2. У трикутнику $ABC$ $\angle C = 90^\circ$. Знайдіть $AB$, якщо $AC = 6$ см і $\cos A = 0,6$.

3. Розв'яжіть трикутник $ABC$, у якого $\angle C = 90^\circ$, $AB = 8$ см, $AC = 4\sqrt{3}$ см.

4. Сторони прямокутника дорівнюють 8 см і 16 см. Знайдіть тупий кут між діагоналями прямокутника (з точністю до градуса).

Короткий розв'язок

1. $\sin F = \frac{CD}{CF} = \frac{12}{13} \implies$ Б.

2. $\cos A = \frac{AC}{AB} \implies 0,6 = \frac{6}{AB} \implies AB = 10$ см.

3. $BC = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = 4$ см. $\sin A = \frac{4}{8} = 0,5 \implies \angle A = 30^\circ$, $\angle B = 60^\circ$.

4. $\text{tg} \frac{\beta}{2} = \frac{16/2}{8/2} = 2 \implies \frac{\beta}{2} \approx 63,4^\circ \implies \beta \approx 127^\circ$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо означення тригонометричних функцій у прямокутному трикутнику та пам'ятаємо, що діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину діляться навпіл.

1. Розглянемо $\triangle CDF$ з прямим кутом $D$. Катети $CD = 12$ і $DF = 5$, гіпотенуза $CF = 13$.
Перевіримо $\sin F$: за означенням це відношення протилежного катета до гіпотенузи.
$\sin F = \frac{CD}{CF} = \frac{12}{13}$.
Отже, рівність Б є правильною.
Відповідь: Б.

2. У прямокутному трикутнику $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) за означенням косинуса гострого кута:

$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$

Підставимо відомі значення: $0,6 = \frac{6}{AB}$.
Звідси $AB = \frac{6}{0,6} = 10$ (см).
Відповідь: 10 см.

3. Знайдемо катет $BC$ за теоремою Піфагора:

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4 \text{ (см).}$$

Визначимо кути трикутника:
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{8} = 0,5 \implies \angle A = 30^\circ$.
Тоді $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Відповідь: $BC = 4$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 60^\circ$.

4. Нехай діагоналі прямокутника зі сторонами $16$ см і $8$ см перетинаються в точці $O$. Діагоналі рівні й діляться навпіл. Точка перетину $O$ рівновіддалена від сторін на $16/2 = 8$ см та $8/2 = 4$ см.
Тупий кут $\beta$ лежить проти більшої сторони ($16$ см). Розглянемо рівнобедрений трикутник, утворений діагоналями та більшою стороною. Висота цього трикутника дорівнює $4$ см, а основа — $16$ см.
У прямокутному трикутнику, що є половиною рівнобедреного:
$\text{tg} \frac{\beta}{2} = \frac{8}{4} = 2$.
За допомогою калькулятора $\frac{\beta}{2} \approx 63,43^\circ$.
Тоді $\beta = 2 \cdot 63,43^\circ = 126,86^\circ \approx 127^\circ$.
Відповідь: $127^\circ$.