ГДЗ Геометрія 8 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 2)

Обкладинка книги ГДЗ Геометрія 8 клас Істер 2025

ГДЗ до збірника «Самостійні та діагностичні роботи з геометрії для 8 класу».

Автори: О. С. Істер, Д. О. Істер (2025).

Умова

1. На малюнку зображено $\triangle LKN$ ($\angle K = 90^\circ$). Укажіть правильну рівність.
А. $\sin L = \frac{24}{25}$; Б. $\cos L = \frac{24}{25}$; В. $\text{tg} N = \frac{24}{7}$; Г. $\sin N = \frac{24}{25}$.

2. У трикутнику $ABC$ $\angle C = 90^\circ$. Знайдіть $AB$, якщо $BC = 18$ см і $\sin A = \frac{3}{5}$.

3. Розв'яжіть трикутник $ABC$, у якого $\angle C = 90^\circ$, $AB = 6$ см, $BC = 3\sqrt{3}$ см.

4. Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 20 см. Знайдіть гострий кут ромба (з точністю до градуса).

Короткий розв'язок

1. $\sin L = \frac{KN}{LN} = \frac{24}{25} \implies$ А.

2. $\sin A = \frac{BC}{AB} \implies \frac{3}{5} = \frac{18}{AB} \implies AB = 30$ см.

3. $AC = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} = 3$ см. $\sin A = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \angle A = 60^\circ$, $\angle B = 30^\circ$.

4. $\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{5}{10} = 0,5 \implies \frac{\alpha}{2} \approx 26,5^\circ \implies \alpha \approx 53^\circ$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для знаходження невідомих елементів використовуємо означення синуса, косинуса та тангенса гострого кута прямокутного трикутника.

1. У прямокутному трикутнику $LKN$ ($\angle K = 90^\circ$):
$\sin L = \frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}} = \frac{KN}{LN} = \frac{24}{25}$.
Ця рівність відповідає варіанту А.
Відповідь: А.

2. За означенням синуса гострого кута трикутника:

$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Підставимо відомі значення: $\frac{3}{5} = \frac{18}{AB}$.
Звідси $AB = \frac{18 \cdot 5}{3} = 6 \cdot 5 = 30$ (см).
Відповідь: 30 см.

3. Знайдемо катет $AC$ за теоремою Піфагора:

$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3 \text{ (см).}$$

Обчислимо синус кута $A$:

$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \angle A = 60^\circ.$$

Знайдемо кут $B$: $\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Відповідь: $AC = 3$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 30^\circ$.

4. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та діляться точкою перетину навпіл. Нехай діагоналі $d_1 = 10$ см і $d_2 = 20$ см. Утворені прямокутні трикутники мають катети $5$ см і $10$ см. Нехай $\alpha$ — кут ромба, тоді в трикутнику один з гострих кутів дорівнює $\frac{\alpha}{2}$.
$\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{5}{10} = 0,5$.
За допомогою калькулятора або таблиць: $\frac{\alpha}{2} \approx 26,565^\circ$.
Тоді кут ромба $\alpha \approx 2 \cdot 26,565^\circ = 53,13^\circ \approx 53^\circ$.
Інший кут ромба дорівнює $180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$. Гострим кутом є $53^\circ$.
Відповідь: $53^\circ$.