ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 1)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Коренем якого рівняння є число 7?
А) $x + 2 = 10$; Б) $12 - x = 5$; В) $8x = 32$; Г) $28 : x = 5$.

2. Яке з рівнянь є лінійним?
А) $x + x^2 = 6$; Б) $2x = -8$; В) $2 : x = -8$; Г) $2x = -8x^2$.

3. Одне із чисел на 7 менше від іншого. Менше із цих чисел позначили через $x$. Як треба позначити більше із цих чисел?
А) $\frac{x}{7}$; Б) $7x$; В) $x - 7$; Г) $x + 7$.

4. Розв'яжіть рівняння:
1) $-3x = 21$; 2) $0,5x - 1,5 = 0$.

5. Чи рівносильні рівняння $5x - 2 = 3x + 6$ і $2(x + 3) = x - 8$?

6. В одному ящику вдвічі більше яблук, ніж у другому. Скільки яблук у кожному ящику, якщо у двох ящиках разом 75 яблук?

7. Для якого значення $a$ рівняння $2ax = -40$ має корінь, що дорівнює 4?

8. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{3x-2}{2} + \frac{2x+5}{3} = 5$; 2) $3x - (x + 5) = 2(x + 1)$.

9. Човен плив 2,5 год за течією і 3,4 год проти течії. Проти течії човен проплив на 2,6 км більше, ніж за течією. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії 2 км/год.

Короткий розв'язок

1. Б. $12 - 7 = 5$.

2. Б. $2x = -8$.

3. Г. $x + 7$.

4. 1) $x = -7$; 2) $x = 3$.

5. $x=4$ та $x=-14$. Не рівносильні.

6. $x+2x=75 \implies x=25$ (у другому); $2 \cdot 25 = 50$ (у першому).

7. $2a \cdot 4 = -40 \implies 8a = -40 \implies a = -5$.

8. 1) $3(3x-2)+2(2x+5)=30 \implies 13x+4=30 \implies x=2$.
2) $2x-5=2x+2 \implies -5=2$. Немає розв'язків.

9. $3,4(v-2) = 2,5(v+2) + 2,6 \implies 0,9v = 14,4 \implies v=16$ км/год.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Завдання охоплюють основні поняття теми "Лінійні рівняння з однією змінною", включаючи знаходження коренів, визначення типу рівняння, розв'язування текстових задач та рівнянь з параметрами.

1. Перевіримо кожний варіант, підставивши $x=7$:
А) $7 + 2 = 9 \ne 10$.
Б) $12 - 7 = 5$. Правильно.
В) $8 \cdot 7 = 56 \ne 32$.
Г) $28 : 7 = 4 \ne 5$.
Відповідь: Б.

2. Лінійним є рівняння виду $ax=b$.
А) $x + x^2 = 6$ - квадратне.
Б) $2x = -8$ - лінійне.
В) $2 : x = -8$ - містить ділення на змінну.
Г) $2x = -8x^2$ - квадратне.
Відповідь: Б.

3. Якщо менше число - $x$, а воно на 7 менше від більшого, то більше число, відповідно, на 7 більше за $x$. Отже, більше число дорівнює $x+7$.
Відповідь: Г.

4.
1) $-3x = 21 \implies x = 21 : (-3) \implies x = -7$.
2) $0,5x - 1,5 = 0 \implies 0,5x = 1,5 \implies x = 1,5 : 0,5 \implies x = 3$.
Відповідь: 1) -7; 2) 3.

5. Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають однакові корені. Знайдемо корені кожного рівняння.
$5x - 2 = 3x + 6 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
$2(x + 3) = x - 8 \implies 2x + 6 = x - 8 \implies x = -14$.
Корені $4$ і $-14$ не є однаковими, отже, рівняння не рівносильні.
Відповідь: ні.

6. Нехай у другому ящику було $x$ яблук. Тоді в першому було $2x$ яблук. Разом в обох ящиках було $x + 2x = 3x$ яблук, що за умовою дорівнює 75.
$3x = 75 \implies x = 25$ (яблук) - у другому ящику.
$2x = 2 \cdot 25 = 50$ (яблук) - у першому ящику.
Відповідь: 50 і 25 яблук.

7. Підставимо корінь $x=4$ у рівняння:
$2a \cdot 4 = -40 \implies 8a = -40 \implies a = -40 : 8 \implies a = -5$.
Відповідь: -5.

8.
1) Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник 6:
$6 \cdot \frac{3x-2}{2} + 6 \cdot \frac{2x+5}{3} = 5 \cdot 6$
$3(3x-2) + 2(2x+5) = 30$
$9x - 6 + 4x + 10 = 30$
$13x + 4 = 30 \implies 13x = 26 \implies x = 2$.
2) $3x - (x + 5) = 2(x + 1)$
$3x - x - 5 = 2x + 2$
$2x - 5 = 2x + 2 \implies 2x - 2x = 2 + 5 \implies 0x = 7$.
Це рівняння не має розв'язків.
Відповідь: 1) 2; 2) немає розв'язків.

9. Нехай $v$ км/год – власна швидкість човна. Тоді швидкість за течією – $(v+2)$ км/год, а проти течії – $(v-2)$ км/год.
Відстань за течією: $S_1 = 2,5(v+2)$ км.
Відстань проти течії: $S_2 = 3,4(v-2)$ км.
За умовою $S_2$ на 2,6 км більше за $S_1$. Складаємо рівняння:
$3,4(v-2) = 2,5(v+2) + 2,6$
$3,4v - 6,8 = 2,5v + 5 + 2,6$
$3,4v - 6,8 = 2,5v + 7,6$
$3,4v - 2,5v = 7,6 + 6,8$
$0,9v = 14,4$
$v = 14,4 : 0,9 \implies v = 16$ (км/год).
Відповідь: 16 км/год.