ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 2)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Коренем якого рівняння є число 6?
А) $x + 3 = 10$; Б) $9 - x = 5$; В) $4x = 24$; Г) $30 : x = 4$.

2. Яке з рівнянь є лінійним?
А) $7x = -14$; Б) $7 : x = -14$; В) $7x = -14x^2$; Г) $x^2 - x = 6$.

3. Одне із чисел на 3 більше від іншого. Більше із чисел позначили через $x$. Як треба позначити менше із цих чисел?
А) $x + 3$; Б) $x - 3$; В) $3x$; Г) $\frac{x}{3}$.

4. Розв'яжіть рівняння:
1) $-5x = -20$; 2) $0,4x - 1,2 = 0$.

5. Чи рівносильні рівняння $3x - 5 = 5x - 1$ і $3(x - 2) = 2x - 8$?

6. У футбольній секції займається втричі більше учнів, ніж у секції шахів. Скільки учнів займається футболом і скільки шахами, якщо разом цих учнів 32?

7. Для якого значення $m$ рівняння $4mx = -40$ має корінь, що дорівнює 2?

8. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{3x+1}{5} + \frac{2x-3}{3} = 3$; 2) $7x - (x + 6) = 6(x - 1)$.

9. Катер плив 3,2 год за течією і 2,9 год проти течії. Проти течії катер проплив на 11,2 км менше, ніж за течією. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна 17 км/год.

Короткий розв'язок

1. В. $4 \cdot 6 = 24$.

2. А. $7x = -14$.

3. Б. $x - 3$.

4. 1) $x = 4$; 2) $x = 3$.

5. $x=-2$ та $x=-2$. Рівносильні.

6. $x+3x=32 \implies x=8$ (шахи); $3 \cdot 8 = 24$ (футбол).

7. $4m \cdot 2 = -40 \implies 8m = -40 \implies m = -5$.

8. 1) $3(3x+1)+5(2x-3)=45 \implies 19x-12=45 \implies x=3$.
2) $6x-6=6x-6 \implies 0x=0$. Безліч розв'язків.

9. $2,9(17-v) = 3,2(17+v) - 11,2 \implies 6,1v = 6,1 \implies v=1$ км/год.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Завдання охоплюють основні поняття теми "Лінійні рівняння з однією змінною", включаючи знаходження коренів, визначення типу рівняння, розв'язування текстових задач та рівнянь з параметрами.

1. Перевіримо кожний варіант, підставивши $x=6$:
А) $6 + 3 = 9 \ne 10$.
Б) $9 - 6 = 3 \ne 5$.
В) $4 \cdot 6 = 24$. Правильно.
Г) $30 : 6 = 5 \ne 4$.
Відповідь: В.

2. Лінійним є рівняння виду $ax=b$.
А) $7x = -14$ - лінійне.
Б) $7 : x = -14$ - містить ділення на змінну.
В) $7x = -14x^2$ - квадратне.
Г) $x^2 - x = 6$ - квадратне.
Відповідь: А.

3. Якщо більше число - $x$, а воно на 3 більше від меншого, то менше число, відповідно, на 3 менше за $x$. Отже, менше число дорівнює $x-3$.
Відповідь: Б.

4.
1) $-5x = -20 \implies x = -20 : (-5) \implies x = 4$.
2) $0,4x - 1,2 = 0 \implies 0,4x = 1,2 \implies x = 1,2 : 0,4 \implies x = 3$.
Відповідь: 1) 4; 2) 3.

5. Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають однакові корені. Знайдемо корені кожного рівняння.
$3x - 5 = 5x - 1 \implies -2x = 4 \implies x = -2$.
$3(x - 2) = 2x - 8 \implies 3x - 6 = 2x - 8 \implies x = -2$.
Корені однакові, отже, рівняння рівносильні.
Відповідь: так.

6. Нехай у секції шахів займається $x$ учнів. Тоді у футбольній секції – $3x$ учнів. Разом займається $x + 3x = 4x$ учнів, що за умовою дорівнює 32.
$4x = 32 \implies x = 8$ (учнів) - у секції шахів.
$3x = 3 \cdot 8 = 24$ (учні) - у футбольній секції.
Відповідь: 24 учні займаються футболом, 8 – шахами.

7. Підставимо корінь $x=2$ у рівняння:
$4m \cdot 2 = -40 \implies 8m = -40 \implies m = -40 : 8 \implies m = -5$.
Відповідь: -5.

8.
1) Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник 15:
$15 \cdot \frac{3x+1}{5} + 15 \cdot \frac{2x-3}{3} = 3 \cdot 15$
$3(3x+1) + 5(2x-3) = 45$
$9x + 3 + 10x - 15 = 45$
$19x - 12 = 45 \implies 19x = 57 \implies x = 3$.
2) $7x - (x + 6) = 6(x - 1)$
$7x - x - 6 = 6x - 6$
$6x - 6 = 6x - 6 \implies 6x - 6x = -6 + 6 \implies 0x = 0$.
Це рівняння має безліч розв'язків, оскільки рівність правильна для будь-якого $x$.
Відповідь: 1) 3; 2) безліч розв'язків.

9. Нехай $v$ км/год – швидкість течії. Власна швидкість катера – 17 км/год.
Швидкість за течією – $(17+v)$ км/год.
Швидкість проти течії – $(17-v)$ км/год.
Відстань за течією: $S_1 = 3,2(17+v)$ км.
Відстань проти течії: $S_2 = 2,9(17-v)$ км.
За умовою $S_2$ на 11,2 км менше за $S_1$. Складаємо рівняння:
$S_1 - S_2 = 11,2$
$3,2(17+v) - 2,9(17-v) = 11,2$
$54,4 + 3,2v - 49,3 + 2,9v = 11,2$
$5,1 + 6,1v = 11,2$
$6,1v = 11,2 - 5,1$
$6,1v = 6,1$
$v = 1$ (км/год).
Відповідь: 1 км/год.