ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 3)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Коренем якого рівняння є число 5?
А) $10 - x = 4$; Б) $7x = 28$; В) $x + 12 = 16$; Г) $20 : x = 4$.

2. Яке з рівнянь є лінійним?
А) $3 : x = -12$; Б) $3x = -12$; В) $3x = -12x^2$; Г) $x^2 + x = 30$.

3. Одне із чисел на 4 менше від іншого. Більше із цих чисел позначили через $x$. Як треба позначити менше із цих чисел?
А) $4x$; Б) $x+4$; В) $x - 4$; Г) $\frac{x}{4}$.

4. Розв'яжіть рівняння:
1) $4x = -24$; 2) $0,3x - 1,5 = 0$.

5. Чи рівносильні рівняння $6x - 3 = 4x + 1$ і $2(x - 5) = x - 8$?

6. Сергій і Сашко разом зібрали 42 гриби, причому Сергій зібрав удвічі більше грибів, ніж Сашко. Скільки грибів зібрав кожен хлопець?

7. Для якого значення $b$ рівняння $2bx = -30$ має корінь, що дорівнює 5?

8. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{3x-2}{4} + \frac{2x+5}{3} = 4$; 2) $5x - (x + 3) = 4(x + 1)$.

9. Човен плив 2,6 год за течією і 3,5 год проти течії. За течією човен проплив на 3,9 км більше, ніж проти течії. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії 3 км/год.

Короткий розв'язок

1. Г. $20 : 5 = 4$.

2. Б. $3x = -12$.

3. В. $x - 4$.

4. 1) $x = -6$; 2) $x = 5$.

5. $x=2$ та $x=2$. Рівносильні.

6. $x+2x=42 \implies x=14$ (Сашко); $2 \cdot 14 = 28$ (Сергій).

7. $2b \cdot 5 = -30 \implies 10b = -30 \implies b = -3$.

8. 1) $3(3x-2)+4(2x+5)=48 \implies 17x+14=48 \implies x=2$.
2) $4x-3=4x+4 \implies -3=4$. Немає розв'язків.

9. $2,6(v+3) = 3,5(v-3) + 3,9 \implies 0,9v = 14,4 \implies v=16$ км/год.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Завдання охоплюють основні поняття теми "Лінійні рівняння з однією змінною", включаючи знаходження коренів, визначення типу рівняння, розв'язування текстових задач та рівнянь з параметрами.

1. Перевіримо кожний варіант, підставивши $x=5$:
А) $10 - 5 = 5 \ne 4$.
Б) $7 \cdot 5 = 35 \ne 28$.
В) $5 + 12 = 17 \ne 16$.
Г) $20 : 5 = 4$. Правильно.
Відповідь: Г.

2. Лінійним є рівняння виду $ax=b$.
А) $3 : x = -12$ - містить ділення на змінну.
Б) $3x = -12$ - лінійне.
В) $3x = -12x^2$ - квадратне.
Г) $x^2 + x = 30$ - квадратне.
Відповідь: Б.

3. Якщо більше число - $x$, а менше число на 4 менше від нього, то менше число дорівнює $x-4$.
Відповідь: В.

4.
1) $4x = -24 \implies x = -24 : 4 \implies x = -6$.
2) $0,3x - 1,5 = 0 \implies 0,3x = 1,5 \implies x = 1,5 : 0,3 \implies x = 5$.
Відповідь: 1) -6; 2) 5.

5. Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають однакові корені. Знайдемо корені кожного рівняння.
$6x - 3 = 4x + 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
$2(x - 5) = x - 8 \implies 2x - 10 = x - 8 \implies x = 2$.
Корені однакові, отже, рівняння рівносильні.
Відповідь: так.

6. Нехай Сашко зібрав $x$ грибів. Тоді Сергій зібрав $2x$ грибів. Разом вони зібрали $x + 2x = 3x$ грибів, що за умовою дорівнює 42.
$3x = 42 \implies x = 14$ (грибів) - зібрав Сашко.
$2x = 2 \cdot 14 = 28$ (грибів) - зібрав Сергій.
Відповідь: Сергій - 28, Сашко - 14 грибів.

7. Підставимо корінь $x=5$ у рівняння:
$2b \cdot 5 = -30 \implies 10b = -30 \implies b = -30 : 10 \implies b = -3$.
Відповідь: -3.

8.
1) Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник 12:
$12 \cdot \frac{3x-2}{4} + 12 \cdot \frac{2x+5}{3} = 4 \cdot 12$
$3(3x-2) + 4(2x+5) = 48$
$9x - 6 + 8x + 20 = 48$
$17x + 14 = 48 \implies 17x = 34 \implies x = 2$.
2) $5x - (x + 3) = 4(x + 1)$
$5x - x - 3 = 4x + 4$
$4x - 3 = 4x + 4 \implies 4x - 4x = 4 + 3 \implies 0x = 7$.
Це рівняння не має розв'язків.
Відповідь: 1) 2; 2) немає розв'язків.

9. Нехай $v$ км/год – власна швидкість човна. Швидкість течії – 3 км/год.
Швидкість за течією – $(v+3)$ км/год.
Швидкість проти течії – $(v-3)$ км/год.
Відстань за течією: $S_1 = 2,6(v+3)$ км.
Відстань проти течії: $S_2 = 3,5(v-3)$ км.
За умовою $S_1$ на 3,9 км більше за $S_2$. Складаємо рівняння:
$S_1 - S_2 = 3,9$
$2,6(v+3) - 3,5(v-3) = 3,9$
$2,6v + 7,8 - (3,5v - 10,5) = 3,9$
$2,6v + 7,8 - 3,5v + 10,5 = 3,9$
$-0,9v + 18,3 = 3,9$
$-0,9v = 3,9 - 18,3$
$-0,9v = -14,4$
$v = -14,4 : (-0,9) \implies v = 16$ (км/год).
Відповідь: 16 км/год.