ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №1 (Варіант 4)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Коренем якого рівняння є число 8?
А) $x + 3 = 11$; Б) $12 - x = 3$; В) $7x = 64$; Г) $24 : x = 2$.

2. Яке з рівнянь є лінійним?
А) $x^2 - x = 2$; Б) $4x = -8x^2$; В) $4 : x = -8$; Г) $4x = -8$.

3. Одне із чисел на 5 більше від іншого. Менше із цих чисел позначили через $x$. Як треба позначити більше із цих чисел?
А) $x-5$; Б) $x+5$; В) $5x$; Г) $\frac{x}{5}$.

4. Розв'яжіть рівняння:
1) $-2x = -12$; 2) $0,6x - 1,8 = 0$.

5. Чи рівносильні рівняння $7x - 5 = 5x - 9$ і $3(x - 4) = 2x - 6$?

6. Майстер і учень разом виготовили 28 деталей, причому майстер виготовив утричі більше деталей, ніж учень. Скільки деталей виготовив кожен?

7. Для якого значення $a$ рівняння $4ax = -48$ має корінь, що дорівнює 6?

8. Розв'яжіть рівняння:
1) $\frac{5x-3}{2} + \frac{2x+4}{5} = 8$; 2) $4x - (x + 3) = 3(x - 1)$.

9. Катер плив 3,5 год за течією і 4,6 год проти течії. За течією човен проплив на 3,6 км менше, ніж проти течії. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна 18 км/год.

Короткий розв'язок

1. А. $8 + 3 = 11$.

2. Г. $4x = -8$.

3. Б. $x + 5$.

4. 1) $x = 6$; 2) $x = 3$.

5. $x=-2$ та $x=6$. Не рівносильні.

6. $x+3x=28 \implies x=7$ (учень); $3 \cdot 7 = 21$ (майстер).

7. $4a \cdot 6 = -48 \implies 24a = -48 \implies a = -2$.

8. 1) $5(5x-3)+2(2x+4)=80 \implies 29x-7=80 \implies x=3$.
2) $3x-3=3x-3 \implies 0x=0$. Безліч розв'язків.

9. $3,5(18+v) = 4,6(18-v) - 3,6 \implies 8,1v = 16,2 \implies v=2$ км/год.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Завдання охоплюють основні поняття теми "Лінійні рівняння з однією змінною", включаючи знаходження коренів, визначення типу рівняння, розв'язування текстових задач та рівнянь з параметрами.

1. Перевіримо кожний варіант, підставивши $x=8$:
А) $8 + 3 = 11$. Правильно.
Б) $12 - 8 = 4 \ne 3$.
В) $7 \cdot 8 = 56 \ne 64$.
Г) $24 : 8 = 3 \ne 2$.
Відповідь: А.

2. Лінійним є рівняння виду $ax=b$.
А) $x^2 - x = 2$ - квадратне.
Б) $4x = -8x^2$ - квадратне.
В) $4 : x = -8$ - містить ділення на змінну.
Г) $4x = -8$ - лінійне.
Відповідь: Г.

3. Якщо менше число - $x$, а більше на 5 більше за нього, то більше число дорівнює $x+5$.
Відповідь: Б.

4.
1) $-2x = -12 \implies x = -12 : (-2) \implies x = 6$.
2) $0,6x - 1,8 = 0 \implies 0,6x = 1,8 \implies x = 1,8 : 0,6 \implies x = 3$.
Відповідь: 1) 6; 2) 3.

5. Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають однакові корені. Знайдемо корені кожного рівняння.
$7x - 5 = 5x - 9 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
$3(x - 4) = 2x - 6 \implies 3x - 12 = 2x - 6 \implies x = 6$.
Корені $-2$ і $6$ не є однаковими, отже, рівняння не рівносильні.
Відповідь: ні.

6. Нехай учень виготовив $x$ деталей. Тоді майстер виготовив $3x$ деталей. Разом вони виготовили $x + 3x = 4x$ деталей, що за умовою дорівнює 28.
$4x = 28 \implies x = 7$ (деталей) - виготовив учень.
$3x = 3 \cdot 7 = 21$ (деталь) - виготовив майстер.
Відповідь: майстер - 21, учень - 7 деталей.

7. Підставимо корінь $x=6$ у рівняння:
$4a \cdot 6 = -48 \implies 24a = -48 \implies a = -48 : 24 \implies a = -2$.
Відповідь: -2.

8.
1) Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник 10:
$10 \cdot \frac{5x-3}{2} + 10 \cdot \frac{2x+4}{5} = 8 \cdot 10$
$5(5x-3) + 2(2x+4) = 80$
$25x - 15 + 4x + 8 = 80$
$29x - 7 = 80 \implies 29x = 87 \implies x = 3$.
2) $4x - (x + 3) = 3(x - 1)$
$4x - x - 3 = 3x - 3$
$3x - 3 = 3x - 3 \implies 3x - 3x = -3 + 3 \implies 0x = 0$.
Це рівняння має безліч розв'язків.
Відповідь: 1) 3; 2) безліч розв'язків.

9. Нехай $v$ км/год – швидкість течії. Власна швидкість катера – 18 км/год.
Швидкість за течією – $(18+v)$ км/год.
Швидкість проти течії – $(18-v)$ км/год.
Відстань за течією: $S_1 = 3,5(18+v)$ км.
Відстань проти течії: $S_2 = 4,6(18-v)$ км.
За умовою $S_1$ на 3,6 км менше за $S_2$. Складаємо рівняння:
$S_2 - S_1 = 3,6$
$4,6(18-v) - 3,5(18+v) = 3,6$
$82,8 - 4,6v - (63 + 3,5v) = 3,6$
$82,8 - 4,6v - 63 - 3,5v = 3,6$
$19,8 - 8,1v = 3,6$
$-8,1v = 3,6 - 19,8$
$-8,1v = -16,2$
$v = -16,2 : (-8,1) \implies v = 2$ (км/год).
Відповідь: 2 км/год.