ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 1)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть многочлен, що тотожно рівний виразу $(x - a)^2$.
А. $x^2 + 2xa + a^2$; Б. $x^2 - 2xa + a^2$;
В. $x^2 - a^2$; Г. $x^2 - xa + a^2$.

2. $(b - m)(b + m) = ...$
А. $b^2 - 2mb + m^2$; Б. $m^2 - b^2$;
В. $b^2 + m^2$; Г. $b^2 - m^2$.

3. Подайте вираз $d^2 + 2dc + c^2$ у вигляді квадрата двочлена.
А. $(d - c)^2$; Б. $(c - d)^2$;
В. $(d + c)^2$; Г. $(2d + c)^2$.

4. Перетворіть вираз на многочлен:
1) $(2a + 3)^2$;
2) $(5 + 4b)(4b - 5)$.

5. Розкладіть многочлен на множники:
1) $m^2 - 18m + 81$;
2) $-0,49 + 4a^2$;
3) $c^3 + 64$;
4) $2p^2 - 2n^2$.

6. Спростіть вираз $(3x - 4)^2 + (5 + 3x)(5 - 3x)$ та знайдіть його значення, якщо $x = \frac{3}{24}$.

7. Спростіть вираз:
1) $(-2b + 7a)^2 - (-3a + 2b)(2b + 3a) + 28ab$;
2) $(a - 2)(a^2 + 2a + 4) - a(a - 5)(a + 5)$.

8. Розв'яжіть рівняння:
1) $3x^3 - 48x = 0$;
2) $25x + 10x^2 + x^3 = 0$.

9. Доведіть, що вираз $x^2 - 6x + 11$ набуває лише додатних значень для всіх значень змінної $x$. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення $x$?

Короткий розв'язок

1. Б. $x^2 - 2xa + a^2$.

2. Г. $b^2 - m^2$.

3. В. $(d + c)^2$.

4. 1) $4a^2 + 12a + 9$; 2) $16b^2 - 25$.

5. 1) $(m - 9)^2$; 2) $(2a - 0,7)(2a + 0,7)$; 3) $(c + 4)(c^2 - 4c + 16)$; 4) $2(p - n)(p + n)$.

6. $-24x + 41$. При $x = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$, значення $38$.

7. 1) $58a^2$; 2) $25a - 8$.

8. 1) $x_1 = 0$, $x_2 = 4$, $x_3 = -4$; 2) $x_1 = 0$, $x_2 = -5$.

9. $(x - 3)^2 + 2 \ge 2$. Найменше значення $2$ при $x = 3$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо формули квадрата суми та різниці $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, різниці квадратів $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, суми кубів $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ та винесення спільного множника.

1. За формулою квадрата різниці: $(x - a)^2 = x^2 - 2xa + a^2$.
Відповідь: Б.

2. За формулою різниці квадратів: $(b - m)(b + m) = b^2 - m^2$.
Відповідь: Г.

3. За формулою квадрата суми: $d^2 + 2dc + c^2 = (d + c)^2$.
Відповідь: В.

4.
1) $(2a + 3)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9$.
2) $(5 + 4b)(4b - 5) = (4b + 5)(4b - 5) = (4b)^2 - 5^2 = 16b^2 - 25$.

5.
1) $m^2 - 18m + 81 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 9 + 9^2 = (m - 9)^2$.
2) $-0,49 + 4a^2 = 4a^2 - 0,49 = (2a)^2 - (0,7)^2 = (2a - 0,7)(2a + 0,7)$.
3) $c^3 + 64 = c^3 + 4^3 = (c + 4)(c^2 - c \cdot 4 + 4^2) = (c + 4)(c^2 - 4c + 16)$.
4) $2p^2 - 2n^2 = 2(p^2 - n^2) = 2(p - n)(p + n)$.

6. Спростимо вираз:
$(3x - 4)^2 + (5 + 3x)(5 - 3x)$
$= (9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 16) + (5^2 - (3x)^2)$
$= (9x^2 - 24x + 16) + (25 - 9x^2)$
$= 9x^2 - 24x + 16 + 25 - 9x^2$
$= (9x^2 - 9x^2) - 24x + (16 + 25)$
$= -24x + 41$.
Знайдемо значення, якщо $x = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$:
$-24 \cdot (\frac{1}{8}) + 41 = -\frac{24}{8} + 41 = -3 + 41 = 38$.
Відповідь: $-24x + 41$; 38.

7.
1) $(-2b + 7a)^2 - (-3a + 2b)(2b + 3a) + 28ab$
$= (7a - 2b)^2 - (2b - 3a)(2b + 3a) + 28ab$
$= (49a^2 - 28ab + 4b^2) - ((2b)^2 - (3a)^2) + 28ab$
$= 49a^2 - 28ab + 4b^2 - (4b^2 - 9a^2) + 28ab$
$= 49a^2 - 28ab + 4b^2 - 4b^2 + 9a^2 + 28ab$
$= (49a^2 + 9a^2) + (4b^2 - 4b^2) + (28ab - 28ab)$
$= 58a^2$.
2) $(a - 2)(a^2 + 2a + 4) - a(a - 5)(a + 5)$
Перша частина – це формула різниці кубів: $(a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.
Друга частина – різниця квадратів: $a(a - 5)(a + 5) = a(a^2 - 25) = a^3 - 25a$.
$= (a^3 - 8) - (a^3 - 25a)$
$= a^3 - 8 - a^3 + 25a$
$= 25a - 8$.

8.
1) $3x^3 - 48x = 0$
Винесемо спільний множник $3x$ за дужки:
$3x(x^2 - 16) = 0$
$3x(x - 4)(x + 4) = 0$
$x_1 = 0$ або $x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$ або $x + 4 = 0 \Rightarrow x_3 = -4$.
Відповідь: 0; 4; -4.
2) $25x + 10x^2 + x^3 = 0$
Винесемо $x$ за дужки:
$x(25 + 10x + x^2) = 0$
У дужках – формула квадрата суми: $x(x^2 + 10x + 25) = x(x + 5)^2 = 0$.
$x_1 = 0$ або $(x + 5)^2 = 0 \Rightarrow x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$.
Відповідь: 0; -5.

9. $x^2 - 6x + 11$
Виділимо повний квадрат:
$x^2 - 6x + 9 + 2 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 2 = (x - 3)^2 + 2$.
Вираз $(x - 3)^2$ завжди невід'ємний (тобто $\ge 0$).
Тому $(x - 3)^2 + 2$ завжди $\ge 2$.
Отже, вираз завжди набуває додатних значень (оскільки $2 > 0$).
Найменшого значення вираз набуває, коли $(x - 3)^2 = 0$, тобто при $x = 3$.
Найменше значення: $0 + 2 = 2$.
Відповідь: Вираз $(x-3)^2+2$ завжди додатний. Найменше значення $2$ при $x=3$.