ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 4)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О. С. Істер (2024).
Умова
1. Укажіть многочлен, що тотожно рівний виразу $(p + x)^2$.
А. $p^2 + x^2$; Б. $p^2 - 2px + x^2$;
В. $p^2 + px + x^2$; Г. $p^2 + 2px + x^2$.
2. $(b + y)(b - y) = ...$
А. $b^2 - 2by + y^2$; Б. $y^2 - b^2$;
В. $b^2 - y^2$; Г. $b^2 + y^2$.
3. Подайте вираз $a^2 - 2am + m^2$ у вигляді квадрата двочлена.
А. $(a + m)^2$; Б. $(a - m)^2$;
В. $(a - 2m)^2$; Г. $(2a - m)^2$.
4. Перетворіть вираз на многочлен:
1) $(4c - 3)^2$;
2) $(7 + 2t)(2t - 7)$.
5. Розкладіть многочлен на множники:
1) $x^2 + 8x + 16$;
2) $-0,64 + 9n^2$;
3) $a^3 - 8$;
4) $7t^2 - 7b^2$.
6. Спростіть вираз $(8m + 3)^2 + (9 - 8m)(9 + 8m)$ та знайдіть його значення, якщо $m = \frac{3}{48}$.
7. Спростіть вираз:
1) $(-5p + 2m)^2 - (-3m + 5p)(5p + 3m) + 20pm$;
2) $(a + 3)(a^2 - 3a + 9) - a(a - 2)(a + 2)$.
8. Розв'яжіть рівняння:
1) $36x - 4x^3 = 0$;
2) $x^3 - 10x^2 + 25x = 0$.
9. Доведіть, що вираз $x^2 - 12x + 37$ набуває лише додатних значень для всіх значень змінної $x$. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення $x$?
Короткий розв'язок
1. Г. $p^2 + 2px + x^2$.
2. В. $b^2 - y^2$.
3. Б. $(a - m)^2$.
4. 1) $16c^2 - 24c + 9$; 2) $4t^2 - 49$.
5. 1) $(x + 4)^2$; 2) $(3n - 0,8)(3n + 0,8)$; 3) $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$; 4) $7(t - b)(t + b)$.
6. $48m + 90$. При $m = \frac{3}{48}$, значення $93$.
7. 1) $13m^2$; 2) $4a + 27$.
8. 1) $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$; 2) $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.
9. $(x - 6)^2 + 1 \ge 1$. Найменше значення $1$ при $x = 6$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо формули квадрата суми та різниці $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, різниці квадратів $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, суми та різниці кубів $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ та винесення спільного множника.
1. За формулою квадрата суми: $(p + x)^2 = p^2 + 2px + x^2$.
Відповідь: Г.
2. За формулою різниці квадратів: $(b + y)(b - y) = b^2 - y^2$.
Відповідь: В.
3. За формулою квадрата різниці: $a^2 - 2am + m^2 = (a - m)^2$.
Відповідь: Б.
4.
1) $(4c - 3)^2 = (4c)^2 - 2 \cdot 4c \cdot 3 + 3^2 = 16c^2 - 24c + 9$.
2) $(7 + 2t)(2t - 7) = (2t + 7)(2t - 7) = (2t)^2 - 7^2 = 4t^2 - 49$.
5.
1) $x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2$.
2) $-0,64 + 9n^2 = 9n^2 - 0,64 = (3n)^2 - (0,8)^2 = (3n - 0,8)(3n + 0,8)$.
3) $a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
4) $7t^2 - 7b^2 = 7(t^2 - b^2) = 7(t - b)(t + b)$.
6. Спростимо вираз:
$(8m + 3)^2 + (9 - 8m)(9 + 8m)$
$= ((8m)^2 + 2 \cdot 8m \cdot 3 + 3^2) + (9^2 - (8m)^2)$
$= (64m^2 + 48m + 9) + (81 - 64m^2)$
$= 64m^2 + 48m + 9 + 81 - 64m^2$
$= (64m^2 - 64m^2) + 48m + (9 + 81)$
$= 48m + 90$.
Знайдемо значення, якщо $m = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$:
$48 \cdot (\frac{1}{16}) + 90 = 3 + 90 = 93$.
Відповідь: $48m + 90$; 93.
7.
1) $(-5p + 2m)^2 - (-3m + 5p)(5p + 3m) + 20pm$
$= (2m - 5p)^2 - (5p - 3m)(5p + 3m) + 20pm$
$= (4m^2 - 20pm + 25p^2) - ((5p)^2 - (3m)^2) + 20pm$
$= (4m^2 - 20pm + 25p^2) - (25p^2 - 9m^2) + 20pm$
$= 4m^2 - 20pm + 25p^2 - 25p^2 + 9m^2 + 20pm$
$= (4m^2 + 9m^2) + (25p^2 - 25p^2) + (20pm - 20pm)$
$= 13m^2$.
2) $(a + 3)(a^2 - 3a + 9) - a(a - 2)(a + 2)$
Перша частина – це формула суми кубів: $(a + 3)(a^2 - a \cdot 3 + 3^2) = a^3 + 3^3 = a^3 + 27$.
Друга частина – різниця квадратів: $a(a - 2)(a + 2) = a(a^2 - 4) = a^3 - 4a$.
$= (a^3 + 27) - (a^3 - 4a)$
$= a^3 + 27 - a^3 + 4a$
$= 4a + 27$.
8.
1) $36x - 4x^3 = 0$
Винесемо спільний множник $4x$ за дужки:
$4x(9 - x^2) = 0$
$4x(3 - x)(3 + x) = 0$
$x_1 = 0$ або $3 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 3$ або $3 + x = 0 \Rightarrow x_3 = -3$.
Відповідь: 0; 3; -3.
2) $x^3 - 10x^2 + 25x = 0$
Винесемо $x$ за дужки:
$x(x^2 - 10x + 25) = 0$
У дужках – формула квадрата різниці: $x(x - 5)^2 = 0$.
$x_1 = 0$ або $(x - 5)^2 = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5$.
Відповідь: 0; 5.
9. $x^2 - 12x + 37$
Виділимо повний квадрат:
$x^2 - 12x + 36 + 1 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) + 1 = (x - 6)^2 + 1$.
Вираз $(x - 6)^2$ завжди невід'ємний (тобто $\ge 0$).
Тому $(x - 6)^2 + 1$ завжди $\ge 1$.
Отже, вираз завжди набуває додатних значень (оскільки $1 > 0$).
Найменшого значення вираз набуває, коли $(x - 6)^2 = 0$, тобто при $x = 6$.
Найменше значення: $0 + 1 = 1$.
Відповідь: Вираз $(x-6)^2+1$ завжди додатний. Найменше значення $1$ при $x=6$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.