ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 3)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть многочлен, що тотожно рівний виразу $(n - b)^2$.
А. $n^2 - 2nb + b^2$; Б. $n^2 - nb + b^2$;
В. $n^2 + 2nb + b^2$; Г. $n^2 - b^2$.

2. $(a + p)(a - p) = ...$
А. $a^2 - 2ap + p^2$; Б. $a^2 - p^2$;
В. $p^2 - a^2$; Г. $a^2 + p^2$.

3. Подайте вираз $b^2 + 2bx + x^2$ у вигляді квадрата двочлена.
А. $(b - x)^2$; Б. $(2b + x)^2$;
В. $(x - b)^2$; Г. $(b + x)^2$.

4. Перетворіть вираз на многочлен:
1) $(3x + 2)^2$;
2) $(4 + 7a)(7a - 4)$.

5. Розкладіть многочлен на множники:
1) $c^2 - 6c + 9$;
2) $-16 + 0,25m^2$;
3) $x^3 + 8$;
4) $5x^2 - 5y^2$.

6. Спростіть вираз $(2a - 5)^2 + (9 - 2a)(9 + 2a)$ та знайдіть його значення, якщо $a = \frac{3}{20}$.

7. Спростіть вираз:
1) $(-4p + 3k)^2 - (-5k + 4p)(4p + 5k) + 24pk$;
2) $(b - 3)(b^2 + 3b + 9) - b(b - 4)(b + 4)$.

8. Розв'яжіть рівняння:
1) $50x - 2x^3 = 0$;
2) $x^3 + 8x^2 + 16x = 0$.

9. Доведіть, що вираз $x^2 - 10x + 28$ набуває лише додатних значень для всіх значень змінної $x$. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення $x$?

Короткий розв'язок

1. Б. $n^2 - 2nb + b^2$.

2. Б. $a^2 - p^2$.

3. Г. $(b + x)^2$.

4. 1) $9x^2 + 12x + 4$; 2) $49a^2 - 16$.

5. 1) $(c - 3)^2$; 2) $(0,5m - 4)(0,5m + 4)$; 3) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$; 4) $5(x - y)(x + y)$.

6. $-20a + 106$. При $a = \frac{3}{20}$, значення $103$.

7. 1) $34k^2$; 2) $16b - 27$.

8. 1) $x_1 = 0$, $x_2 = 5$, $x_3 = -5$; 2) $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

9. $(x - 5)^2 + 3 \ge 3$. Найменше значення $3$ при $x = 5$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо формули квадрата суми та різниці $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, різниці квадратів $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, суми та різниці кубів $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ та винесення спільного множника.

1. За формулою квадрата різниці: $(n - b)^2 = n^2 - 2nb + b^2$.
Відповідь: Б.

2. За формулою різниці квадратів: $(a + p)(a - p) = a^2 - p^2$.
Відповідь: Б.

3. За формулою квадрата суми: $b^2 + 2bx + x^2 = (b + x)^2$.
Відповідь: Г.

4.
1) $(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$.
2) $(4 + 7a)(7a - 4) = (7a + 4)(7a - 4) = (7a)^2 - 4^2 = 49a^2 - 16$.

5.
1) $c^2 - 6c + 9 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = (c - 3)^2$.
2) $-16 + 0,25m^2 = 0,25m^2 - 16 = (0,5m)^2 - 4^2 = (0,5m - 4)(0,5m + 4)$.
3) $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
4) $5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2) = 5(x - y)(x + y)$.

6. Спростимо вираз:
$(2a - 5)^2 + (9 - 2a)(9 + 2a)$
$= ((2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2) + (9^2 - (2a)^2)$
$= (4a^2 - 20a + 25) + (81 - 4a^2)$
$= 4a^2 - 20a + 25 + 81 - 4a^2$
$= (4a^2 - 4a^2) - 20a + (25 + 81)$
$= -20a + 106$.
Знайдемо значення, якщо $a = \frac{3}{20}$:
$-20 \cdot (\frac{3}{20}) + 106 = -3 + 106 = 103$.
Відповідь: $-20a + 106$; 103.

7.
1) $(-4p + 3k)^2 - (-5k + 4p)(4p + 5k) + 24pk$
$= (3k - 4p)^2 - (4p - 5k)(4p + 5k) + 24pk$
$= (9k^2 - 24pk + 16p^2) - ((4p)^2 - (5k)^2) + 24pk$
$= (9k^2 - 24pk + 16p^2) - (16p^2 - 25k^2) + 24pk$
$= 9k^2 - 24pk + 16p^2 - 16p^2 + 25k^2 + 24pk$
$= (9k^2 + 25k^2) + (16p^2 - 16p^2) + (24pk - 24pk)$
$= 34k^2$.
2) $(b - 3)(b^2 + 3b + 9) - b(b - 4)(b + 4)$
Перша частина – це формула різниці кубів: $(b - 3)(b^2 + b \cdot 3 + 3^2) = b^3 - 3^3 = b^3 - 27$.
Друга частина – різниця квадратів: $b(b - 4)(b + 4) = b(b^2 - 16) = b^3 - 16b$.
$= (b^3 - 27) - (b^3 - 16b)$
$= b^3 - 27 - b^3 + 16b$
$= 16b - 27$.

8.
1) $50x - 2x^3 = 0$
Винесемо спільний множник $2x$ за дужки:
$2x(25 - x^2) = 0$
$2x(5 - x)(5 + x) = 0$
$x_1 = 0$ або $5 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 5$ або $5 + x = 0 \Rightarrow x_3 = -5$.
Відповідь: 0; 5; -5.
2) $x^3 + 8x^2 + 16x = 0$
Винесемо $x$ за дужки:
$x(x^2 + 8x + 16) = 0$
У дужках – формула квадрата суми: $x(x + 4)^2 = 0$.
$x_1 = 0$ або $(x + 4)^2 = 0 \Rightarrow x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$.
Відповідь: 0; -4.

9. $x^2 - 10x + 28$
Виділимо повний квадрат:
$x^2 - 10x + 25 + 3 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) + 3 = (x - 5)^2 + 3$.
Вираз $(x - 5)^2$ завжди невід'ємний (тобто $\ge 0$).
Тому $(x - 5)^2 + 3$ завжди $\ge 3$.
Отже, вираз завжди набуває додатних значень (оскільки $3 > 0$).
Найменшого значення вираз набуває, коли $(x - 5)^2 = 0$, тобто при $x = 5$.
Найменше значення: $0 + 3 = 3$.
Відповідь: Вираз $(x-5)^2+3$ завжди додатний. Найменше значення $3$ при $x=5$.