ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №4 (Варіант 2)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть многочлен, що тотожно рівний виразу $(m + a)^2$.
А. $m^2 - 2ma + a^2$; Б. $m^2 + 2ma + a^2$;
В. $m^2 + ma + a^2$; Г. $m^2 + a^2$.

2. $(c - x)(c + x) = ...$
А. $c^2 - 2cx + x^2$; Б. $c^2 - x^2$;
В. $c^2 + x^2$; Г. $x^2 - c^2$.

3. Подайте вираз $y^2 - 2yn + n^2$ у вигляді квадрата двочлена.
А. $(y - 2n)^2$; Б. $(2y - n)^2$;
В. $(y + n)^2$; Г. $(y - n)^2$.

4. Перетворіть вираз на многочлен:
1) $(2b - 7)^2$;
2) $(2 + 5m)(5m - 2)$.

5. Розкладіть многочлен на множники:
1) $p^2 + 10p + 25$;
2) $-100 + 0,09c^2$;
3) $d^3 - 64$;
4) $3c^2 - 3d^2$.

6. Спростіть вираз $(5y + 2)^2 + (9 + 5y)(9 - 5y)$ та знайдіть його значення, якщо $y = \frac{3}{20}$.

7. Спростіть вираз:
1) $(-3m + 4y)^2 - (-5y + 3m)(3m + 5y) + 24my$;
2) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3)$.

8. Розв'яжіть рівняння:
1) $5x^3 - 20x = 0$;
2) $36x - 12x^2 + x^3 = 0$.

9. Доведіть, що вираз $x^2 - 8x + 19$ набуває лише додатних значень для всіх значень змінної $x$. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення $x$?

Короткий розв'язок

1. Б. $m^2 + 2ma + a^2$.

2. Б. $c^2 - x^2$.

3. Г. $(y - n)^2$.

4. 1) $4b^2 - 28b + 49$; 2) $25m^2 - 4$.

5. 1) $(p + 5)^2$; 2) $(0,3c - 10)(0,3c + 10)$; 3) $(d - 4)(d^2 + 4d + 16)$; 4) $3(c - d)(c + d)$.

6. $20y + 85$. При $y = \frac{3}{20}$, значення $88$.

7. 1) $41y^2$; 2) $9x + 8$.

8. 1) $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$; 2) $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.

9. $(x - 4)^2 + 3 \ge 3$. Найменше значення $3$ при $x = 4$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо формули квадрата суми та різниці $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, різниці квадратів $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, суми та різниці кубів $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ та винесення спільного множника.

1. За формулою квадрата суми: $(m + a)^2 = m^2 + 2ma + a^2$.
Відповідь: Б.

2. За формулою різниці квадратів: $(c - x)(c + x) = c^2 - x^2$.
Відповідь: Б.

3. За формулою квадрата різниці: $y^2 - 2yn + n^2 = (y - n)^2$.
Відповідь: Г.

4.
1) $(2b - 7)^2 = (2b)^2 - 2 \cdot 2b \cdot 7 + 7^2 = 4b^2 - 28b + 49$.
2) $(2 + 5m)(5m - 2) = (5m + 2)(5m - 2) = (5m)^2 - 2^2 = 25m^2 - 4$.

5.
1) $p^2 + 10p + 25 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 5 + 5^2 = (p + 5)^2$.
2) $-100 + 0,09c^2 = 0,09c^2 - 100 = (0,3c)^2 - 10^2 = (0,3c - 10)(0,3c + 10)$.
3) $d^3 - 64 = d^3 - 4^3 = (d - 4)(d^2 + d \cdot 4 + 4^2) = (d - 4)(d^2 + 4d + 16)$.
4) $3c^2 - 3d^2 = 3(c^2 - d^2) = 3(c - d)(c + d)$.

6. Спростимо вираз:
$(5y + 2)^2 + (9 + 5y)(9 - 5y)$
$= (25y^2 + 2 \cdot 5y \cdot 2 + 4) + (9^2 - (5y)^2)$
$= (25y^2 + 20y + 4) + (81 - 25y^2)$
$= 25y^2 + 20y + 4 + 81 - 25y^2$
$= (25y^2 - 25y^2) + 20y + (4 + 81)$
$= 20y + 85$.
Знайдемо значення, якщо $y = \frac{3}{20}$:
$20 \cdot (\frac{3}{20}) + 85 = 3 + 85 = 88$.
Відповідь: $20y + 85$; 88.

7.
1) $(-3m + 4y)^2 - (-5y + 3m)(3m + 5y) + 24my$
$= (4y - 3m)^2 - (3m - 5y)(3m + 5y) + 24my$
$= (16y^2 - 2 \cdot 4y \cdot 3m + 9m^2) - ((3m)^2 - (5y)^2) + 24my$
$= (16y^2 - 24my + 9m^2) - (9m^2 - 25y^2) + 24my$
$= 16y^2 - 24my + 9m^2 - 9m^2 + 25y^2 + 24my$
$= (16y^2 + 25y^2) + (9m^2 - 9m^2) + (24my - 24my)$
$= 41y^2$.
2) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3)$
Перша частина – це формула суми кубів: $(x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.
Друга частина – різниця квадратів: $x(x - 3)(x + 3) = x(x^2 - 9) = x^3 - 9x$.
$= (x^3 + 8) - (x^3 - 9x)$
$= x^3 + 8 - x^3 + 9x$
$= 9x + 8$.

8.
1) $5x^3 - 20x = 0$
Винесемо спільний множник $5x$ за дужки:
$5x(x^2 - 4) = 0$
$5x(x - 2)(x + 2) = 0$
$x_1 = 0$ або $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$ або $x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$.
Відповідь: 0; 2; -2.
2) $36x - 12x^2 + x^3 = 0$
Винесемо $x$ за дужки та переставимо доданки:
$x(x^2 - 12x + 36) = 0$
У дужках – формула квадрата різниці: $x(x - 6)^2 = 0$.
$x_1 = 0$ або $(x - 6)^2 = 0 \Rightarrow x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6$.
Відповідь: 0; 6.

9. $x^2 - 8x + 19$
Виділимо повний квадрат:
$x^2 - 8x + 16 + 3 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) + 3 = (x - 4)^2 + 3$.
Вираз $(x - 4)^2$ завжди невід'ємний (тобто $\ge 0$).
Тому $(x - 4)^2 + 3$ завжди $\ge 3$.
Отже, вираз завжди набуває додатних значень (оскільки $3 > 0$).
Найменшого значення вираз набуває, коли $(x - 4)^2 = 0$, тобто при $x = 4$.
Найменше значення: $0 + 3 = 3$.
Відповідь: Вираз $(x-4)^2+3$ завжди додатний. Найменше значення $3$ при $x=4$.