ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 1)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть запис, що задає функцію.
А. $4 + 3x = 3x - 7$; Б. $12 : 2 - 6 = 0$; В. $y = \frac{x-2}{7}$; Г. $7b - 2 < 5$.

2. Укажіть функцію, що є лінійною.
А. $y = \frac{1}{2x+3}$; Б. $y = 2x + 3$; В. $y = x^2 + 3$; Г. $y = x^2 + 3x$.

3. Лінійну функцію задано формулою $y = 5 - 2x$. Укажіть коефіцієнти $k$ і $l$ цієї функції.
А. $k=5, l=-2$; Б. $k=5, l=2$; В. $k=2, l=5$; Г. $k=-2, l=5$.

4. Функцію задано формулою $y = -3x + 5$. Знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 4;
2) значення аргументу, для якого значення функції дорівнює 8.

5. Функцію задано формулою $y = 0,7x - 6,3$. Не виконуючи побудови:
1) знайдіть нулі функції;
2) з'ясуйте, чи проходить графік функції через точку $M(10; 0,5)$.

6. Побудуйте графік функції $y = 2x - 3$. Користуючися графіком, знайдіть:
1) значення функції для $x = 3$;
2) значення аргументу, для якого $y = -1$.

7. Знайдіть область визначення функції $y = \frac{3}{4x - x^2}$.

8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій $y = -1,5x$ та $y = -3$ і знайдіть координати точки їх перетину.

9. Знайдіть найменше значення функції $y = x^2 + 4x - 5$.

Короткий розв'язок

1. В. $y = \frac{x-2}{7}$.

2. Б. $y = 2x + 3$.

3. Г. $k = -2, l = 5$.

4. 1) $y = -7$; 2) $x = -1$.

5. 1) $x = 9$; 2) Ні, не проходить.

6. 1) $y = 3$; 2) $x = 1$.

7. Усі числа, крім $x = 0$ та $x = 4$.

8. $(2; -3)$.

9. $y_{min} = -9$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо поняття функції, лінійної функції, її коефіцієнтів та області визначення.

1. Функція - це залежність, при якій кожному значенню незалежної змінної (аргументу, $x$) відповідає єдине значення залежної змінної (функції, $y$). Запис В $y = \frac{x-2}{7}$ задає таку залежність.
А і Б - рівності, Г - нерівність.
Відповідь: В.

2. Лінійна функція має вигляд $y = kx + b$. Цій умові відповідає $y = 2x + 3$.
Відповідь: Б.

3. Функцію $y = 5 - 2x$ можна переписати у стандартному вигляді $y = -2x + 5$. Звідси $k = -2$ і $l = 5$.
Відповідь: Г.

4. $y = -3x + 5$.
1) Якщо $x = 4$, то $y = -3(4) + 5 = -12 + 5 = -7$.
2) Якщо $y = 8$, то $8 = -3x + 5 \Rightarrow 3x = 5 - 8 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$.
Відповідь: 1) -7; 2) -1.

5. $y = 0,7x - 6,3$.
1) Нулі функції – це значення $x$, при якому $y = 0$.
$0,7x - 6,3 = 0$
$0,7x = 6,3$
$x = 6,3 : 0,7 = 9$.
2) Щоб перевірити, чи проходить графік через точку $M(10; 0,5)$, підставимо її координати у формулу:
$y = 0,7(10) - 6,3 = 7 - 6,3 = 0,7$.
Оскільки $0,7 \neq 0,5$, графік не проходить через цю точку.
Відповідь: 1) 9; 2) Ні, не проходить.

6. Побудуємо графік $y = 2x - 3$. Це пряма. Візьмемо дві точки:
$x=0 \Rightarrow y = 2(0) - 3 = -3$. Точка (0; -3).
$x=2 \Rightarrow y = 2(2) - 3 = 1$. Точка (2; 1).

1) За графіком (або розрахунком): якщо $x=3$, $y = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$.
2) За графіком (або розрахунком): якщо $y=-1$, $-1 = 2x - 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
Відповідь: 1) 3; 2) 1.

7. Область визначення функції $y = \frac{3}{4x - x^2}$ – це всі $x$, крім тих, що перетворюють знаменник на нуль.
$4x - x^2 \neq 0$
$x(4 - x) \neq 0$
Це означає, що $x \neq 0$ і $4 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
Відповідь: Усі числа, крім $x = 0$ та $x = 4$.

8. $y = -1,5x$ (пряма, проходить через (0; 0) і (2; -3)).
$y = -3$ (горизонтальна пряма, паралельна осі $x$).

Щоб знайти точку перетину, прирівняємо $y$:
$-1,5x = -3$
$x = -3 : (-1,5) = 2$.
Координата $y$ вже відома: $y = -3$.
Відповідь: (2; -3).

9. Функція $y = x^2 + 4x - 5$ є параболою з гілками вгору ($a=1 > 0$), тому вона має найменше значення у своїй вершині.
Абсциса вершини: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Найменше значення (ордината вершини):
$y_0 = y(x_0) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Відповідь: Найменше значення $y_{min} = -9$ (при $x = -2$).