ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 3)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть запис, що задає функцію.
А. $12 : 2 - 3 = 3$; Б. $4x - 7 = 2 + 4x$; В. $3c - 2 > 7$; Г. $y = \frac{x-7}{11}$.

2. Укажіть функцію, що є лінійною.
А. $y = \frac{1}{3x-7}$; Б. $y = 3x - 7$; В. $y = x^3 - 7$; Г. $y = x^3 - 7x$.

3. Лінійну функцію задано формулою $y = 4 - 3x$. Укажіть коефіцієнти $k$ і $l$ цієї функції.
А. $k=-3, l=-4$; Б. $k=3, l=4$; В. $k=-3, l=4$; Г. $k=4, l=-3$.

4. Функцію задано формулою $y = -4x + 5$. Знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 4;
2) значення аргументу, для якого значення функції дорівнює 9.

5. Функцію задано формулою $y = 0,6x - 4,2$. Не виконуючи побудови:
1) знайдіть нулі функції;
2) з'ясуйте, чи проходить графік функції через точку $A(10; 1,5)$.

6. Побудуйте графік функції $y = 3x - 4$. Користуючися графіком, знайдіть:
1) значення функції для $x = 3$;
2) значення аргументу, для якого $y = -1$.

7. Знайдіть область визначення функції $y = \frac{5}{3x + x^2}$.

8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій $y = -2,5x$ та $y = -5$ і знайдіть координати точки їх перетину.

9. Знайдіть найменше значення функції $y = x^2 + 8x + 13$.

Короткий розв'язок

1. Г. $y = \frac{x-7}{11}$.

2. Б. $y = 3x - 7$.

3. В. $k = -3, l = 4$.

4. 1) $y = -11$; 2) $x = -1$.

5. 1) $x = 7$; 2) Ні, не проходить.

6. 1) $y = 5$; 2) $x = 1$.

7. Усі числа, крім $x = 0$ та $x = -3$.

8. $(2; -5)$.

9. $y_{min} = -3$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо поняття функції, лінійної функції, її коефіцієнтів та області визначення.

1. Функція - це залежність $y$ від $x$. Цій умові відповідає Г. $y = \frac{x-7}{11}$.
А і Б - рівності, В - нерівність.
Відповідь: Г.

2. Лінійна функція має вигляд $y = kx + b$. Цій умові відповідає $y = 3x - 7$.
Відповідь: Б.

3. Функцію $y = 4 - 3x$ можна переписати у стандартному вигляді $y = -3x + 4$. Звідси $k = -3$ і $l = 4$.
Відповідь: В.

4. $y = -4x + 5$.
1) Якщо $x = 4$, то $y = -4(4) + 5 = -16 + 5 = -11$.
2) Якщо $y = 9$, то $9 = -4x + 5 \Rightarrow 4x = 5 - 9 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1$.
Відповідь: 1) -11; 2) -1.

5. $y = 0,6x - 4,2$.
1) Нулі функції – це значення $x$, при якому $y = 0$.
$0,6x - 4,2 = 0$
$0,6x = 4,2$
$x = 4,2 : 0,6 = 7$.
2) Щоб перевірити, чи проходить графік через точку $A(10; 1,5)$, підставимо її координати у формулу:
$y = 0,6(10) - 4,2 = 6 - 4,2 = 1,8$.
Оскільки $1,8 \neq 1,5$, графік не проходить через цю точку.
Відповідь: 1) 7; 2) Ні, не проходить.

6. Побудуємо графік $y = 3x - 4$. Це пряма. Візьмемо дві точки:
$x=0 \Rightarrow y = 3(0) - 4 = -4$. Точка (0; -4).
$x=1 \Rightarrow y = 3(1) - 4 = -1$. Точка (1; -1).

1) За графіком (або розрахунком): якщо $x=3$, $y = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5$.
2) За графіком (або розрахунком): якщо $y=-1$, $-1 = 3x - 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$.
Відповідь: 1) 5; 2) 1.

7. Область визначення функції $y = \frac{5}{3x + x^2}$ – це всі $x$, крім тих, що перетворюють знаменник на нуль.
$3x + x^2 \neq 0$
$x(3 + x) \neq 0$
Це означає, що $x \neq 0$ і $3 + x \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
Відповідь: Усі числа, крім $x = 0$ та $x = -3$.

8. $y = -2,5x$ (пряма, проходить через (0; 0) і (2; -5)).
$y = -5$ (горизонтальна пряма, паралельна осі $x$).

Щоб знайти точку перетину, прирівняємо $y$:
$-2,5x = -5$
$x = -5 : (-2,5) = 2$.
Координата $y$ вже відома: $y = -5$.
Відповідь: (2; -5).

9. Функція $y = x^2 + 8x + 13$ є параболою з гілками вгору ($a=1 > 0$), тому вона має найменше значення у своїй вершині.
Абсциса вершини: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.
Найменше значення (ордината вершини):
$y_0 = y(x_0) = (-4)^2 + 8(-4) + 13 = 16 - 32 + 13 = -3$.
Відповідь: Найменше значення $y_{min} = -3$ (при $x = -4$).