ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №5 (Варіант 4)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть запис, що задає функцію.
А. $y = \frac{x+9}{11}$; Б. $2t - 5 < 7$; В. $20 : 2 - 10 = 0$; Г. $7x + 3 = 5 + 7x$.

2. Укажіть функцію, що є лінійною.
А. $y = \frac{1}{2x-7}$; Б. $y = x^2 - 7x$; В. $y = x^2 - 7$; Г. $y = 2x - 7$.

3. Лінійну функцію задано формулою $y = 7 - 5x$. Укажіть коефіцієнти $k$ і $l$ цієї функції.
А. $k=5, l=7$; Б. $k=-5, l=7$; В. $k=5, l=-7$; Г. $k=7, l=-5$.

4. Функцію задано формулою $y = 3x - 4$. Знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 4;
2) значення аргументу, для якого значення функції дорівнює -13.

5. Функцію задано формулою $y = 0,8x - 3,2$. Не виконуючи побудови:
1) знайдіть нулі функції;
2) з'ясуйте, чи проходить графік функції через точку $K(10; 4,5)$.

6. Побудуйте графік функції $y = -2x + 3$. Користуючися графіком, знайдіть:
1) значення функції для $x = -1$;
2) значення аргументу, для якого $y = 1$.

7. Знайдіть область визначення функції $y = \frac{4}{x^2 - 5x}$.

8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій $y = 2,5x$ та $y = 5$ і знайдіть координати точки їх перетину.

9. Знайдіть найменше значення функції $y = x^2 - 6x + 7$.

Короткий розв'язок

1. А. $y = \frac{x+9}{11}$.

2. Г. $y = 2x - 7$.

3. Б. $k = -5, l = 7$.

4. 1) $y = 8$; 2) $x = -3$.

5. 1) $x = 4$; 2) Ні, не проходить.

6. 1) $y = 5$; 2) $x = 1$.

7. Усі числа, крім $x = 0$ та $x = 5$.

8. $(2; 5)$.

9. $y_{min} = -2$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо поняття функції, лінійної функції, її коефіцієнтів та області визначення.

1. Функція - це залежність $y$ від $x$. Цій умові відповідає А. $y = \frac{x+9}{11}$.
Б - нерівність, В і Г - рівності.
Відповідь: А.

2. Лінійна функція має вигляд $y = kx + b$. Цій умові відповідає $y = 2x - 7$.
Відповідь: Г.

3. Функцію $y = 7 - 5x$ можна переписати у стандартному вигляді $y = -5x + 7$. Звідси $k = -5$ і $l = 7$.
Відповідь: Б.

4. $y = 3x - 4$.
1) Якщо $x = 4$, то $y = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$.
2) Якщо $y = -13$, то $-13 = 3x - 4 \Rightarrow 3x = -13 + 4 \Rightarrow 3x = -9 \Rightarrow x = -3$.
Відповідь: 1) 8; 2) -3.

5. $y = 0,8x - 3,2$.
1) Нулі функції – це значення $x$, при якому $y = 0$.
$0,8x - 3,2 = 0$
$0,8x = 3,2$
$x = 3,2 : 0,8 = 4$.
2) Щоб перевірити, чи проходить графік через точку $K(10; 4,5)$, підставимо її координати у формулу:
$y = 0,8(10) - 3,2 = 8 - 3,2 = 4,8$.
Оскільки $4,8 \neq 4,5$, графік не проходить через цю точку.
Відповідь: 1) 4; 2) Ні, не проходить.

6. Побудуємо графік $y = -2x + 3$. Це пряма. Візьмемо дві точки:
$x=0 \Rightarrow y = -2(0) + 3 = 3$. Точка (0; 3).
$x=1 \Rightarrow y = -2(1) + 3 = 1$. Точка (1; 1).

1) За графіком (або розрахунком): якщо $x=-1$, $y = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$.
2) За графіком (або розрахунком): якщо $y=1$, $1 = -2x + 3 \Rightarrow 2x = 3 - 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
Відповідь: 1) 5; 2) 1.

7. Область визначення функції $y = \frac{4}{x^2 - 5x}$ – це всі $x$, крім тих, що перетворюють знаменник на нуль.
$x^2 - 5x \neq 0$
$x(x - 5) \neq 0$
Це означає, що $x \neq 0$ і $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
Відповідь: Усі числа, крім $x = 0$ та $x = 5$.

8. $y = 2,5x$ (пряма, проходить через (0; 0) і (2; 5)).
$y = 5$ (горизонтальна пряма, паралельна осі $x$).

Щоб знайти точку перетину, прирівняємо $y$:
$2,5x = 5$
$x = 5 : 2,5 = 2$.
Координата $y$ вже відома: $y = 5$.
Відповідь: (2; 5).

9. Функція $y = x^2 - 6x + 7$ є параболою з гілками вгору ($a=1 > 0$), тому вона має найменше значення у своїй вершині.
Абсциса вершини: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Найменше значення (ордината вершини):
$y_0 = y(x_0) = (3)^2 - 6(3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2$.
Відповідь: Найменше значення $y_{min} = -2$ (при $x = 3$).