ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №6 (Варіант 1)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними?
А. $3x^2 - 4y = 5$; Б. $3x - 4y^2 = 5$; В. $3x - 4y = 5$; Г. $3x - 4y = t$.

2. Яка з точок належить графіку рівняння $x + y = 9$?
А. $(-6; -3)$; Б. $(6; 3)$; В. $(7; 3)$; Г. $(1; 9)$.

3. Яка з пар чисел є розв'язком системи рівнянь $\begin{cases} x - y = 5, \\ x + y = 1 \end{cases}$?
А. $(2; -3)$; Б. $(6; 1)$; В. $(-2; 3)$; Г. $(3; -2)$.

4. Розв'яжіть систему рівнянь графічним способом $\begin{cases} y = 2x, \\ 3x + y = -5. \end{cases}$

5. Розв'яжіть систему рівнянь способом підстановки $\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 4x + y = 2. \end{cases}$

6. Розв'яжіть систему рівнянь способом додавання $\begin{cases} 3x + 4y = -14, \\ 5x - 4y = 30. \end{cases}$

7. Для якого значення $m$ графік рівняння $mx + 2y = 18$ проходить через точку $(-2; 6)$?

8. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2(x - 4) = 7y - 25, \\ 6(x + 3) - 5(y + 2) = -11. \end{cases}$

9. За 7 зошитів і 3 ручки заплатили 176 грн. Після того як зошит подорожчав на 10 %, а ручка подешевшала на 15 %, за один зошит й одну ручку заплатили 32,2 грн. Якими були початкові ціни зошита та ручки?

Короткий розв'язок

1. В. $3x - 4y = 5$

2. Б. $(6; 3)$

3. Г. $(3; -2)$

4. $(-1; -2)$

5. $(1; -2)$

6. $(2; -5)$

7. $m = -3$

8. $(-1.5; 2)$

9. Зошит - 20 грн, ручка - 12 грн.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цій роботі ми розв'язуємо системи лінійних рівнянь графічним методом, методом підстановки та методом додавання. Також розв'язуємо задачі за допомогою систем рівнянь.

1. Лінійне рівняння з двома змінними має вигляд $ax + by = c$, де $a$, $b$, $c$ – числа, а $x$, $y$ – змінні.
А. $3x^2 - 4y = 5$ – містить $x^2$.
Б. $3x - 4y^2 = 5$ – містить $y^2$.
В. $3x - 4y = 5$ – відповідає означенню.
Г. $3x - 4y = t$ – містить три змінні ($x, y, t$).
Відповідь: В.

2. Точка належить графіку, якщо її координати перетворюють рівняння на правильну рівність. $x + y = 9$.
А. $-6 + (-3) = -9 \ne 9$.
Б. $6 + 3 = 9$. (Вірно).
В. $7 + 3 = 10 \ne 9$.
Г. $1 + 9 = 10 \ne 9$.
Відповідь: Б.

3. Пара чисел є розв'язком системи, якщо вона задовольняє кожне рівняння.
$\begin{cases} x - y = 5, \\ x + y = 1. \end{cases}$
Перевіримо Г. $(3; -2)$:
$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$. (Вірно).
$3 + (-2) = 1$. (Вірно).
Відповідь: Г.

4. $\begin{cases} y = 2x, \\ 3x + y = -5. \end{cases}$
Побудуємо графік $y = 2x$ (пряма через $(0;0)$ і $(1;2)$).
Побудуємо графік $3x + y = -5 \Rightarrow y = -3x - 5$ (пряма через $(0;-5)$ і $(-1;-2)$).
Графіки перетинаються в точці $(-1; -2)$.
Графічне розв'язання системи рівнянь y=2x і 3x+y=-5
Відповідь: $(-1; -2)$.

5. $\begin{cases} x - 2y = 5, & (1) \\ 4x + y = 2. & (2) \end{cases}$
З рівняння (1) виразимо $x$: $x = 5 + 2y$.
Підставимо у рівняння (2):
$4(5 + 2y) + y = 2$
$20 + 8y + y = 2$
$9y = -18$
$y = -2$.
Знайдемо $x$: $x = 5 + 2(-2) = 5 - 4 = 1$.
Відповідь: $(1; -2)$.

6. $\begin{cases} 3x + 4y = -14, \\ 5x - 4y = 30. \end{cases}$
Коефіцієнти біля $y$ протилежні, тому додамо рівняння:
$(3x + 5x) + (4y - 4y) = -14 + 30$
$8x = 16$
$x = 2$.
Підставимо $x=2$ у перше рівняння:
$3(2) + 4y = -14$
$6 + 4y = -14$
$4y = -20$
$y = -5$.
Відповідь: $(2; -5)$.

7. $mx + 2y = 18$. Точка $(-2; 6)$.
Підставимо $x = -2$ та $y = 6$ у рівняння:
$m(-2) + 2(6) = 18$
$-2m + 12 = 18$
$-2m = 6$
$m = -3$.
Відповідь: $m = -3$.

8. $\begin{cases} 2(x - 4) = 7y - 25, \\ 6(x + 3) - 5(y + 2) = -11. \end{cases}$
Спростимо обидва рівняння:
1) $2x - 8 = 7y - 25 \Rightarrow 2x - 7y = -17$.
2) $6x + 18 - 5y - 10 = -11 \Rightarrow 6x - 5y + 8 = -11 \Rightarrow 6x - 5y = -19$.
Отримали систему:
$\begin{cases} 2x - 7y = -17, & (1) \\ 6x - 5y = -19. & (2) \end{cases}$
Помножимо рівняння (1) на -3:
$\begin{cases} -6x + 21y = 51, \\ 6x - 5y = -19. \end{cases}$
Додамо рівняння:
$(-6x + 6x) + (21y - 5y) = 51 - 19$
$16y = 32$
$y = 2$.
Підставимо $y = 2$ у рівняння (1):
$2x - 7(2) = -17$
$2x - 14 = -17$
$2x = -3$
$x = -1.5$.
Відповідь: $(-1.5; 2)$.

9. Нехай $x$ грн – початкова ціна зошита, $y$ грн – початкова ціна ручки.
Складаємо перше рівняння: $7x + 3y = 176$.
Нова ціна зошита: $x + 0.1x = 1.1x$.
Нова ціна ручки: $y - 0.15y = 0.85y$.
Складаємо друге рівняння: $1.1x + 0.85y = 32.2$.
Отримали систему: $\begin{cases} 7x + 3y = 176, & (1) \\ 1.1x + 0.85y = 32.2. & (2) \end{cases}$
З рівняння (1) виразимо $y$: $3y = 176 - 7x \Rightarrow y = \frac{176 - 7x}{3}$.
Підставимо у рівняння (2):
$1.1x + 0.85 \left( \frac{176 - 7x}{3} \right) = 32.2$
Помножимо все рівняння на 3, щоб позбутися дробу:
$3.3x + 0.85(176 - 7x) = 96.6$
$3.3x + 149.6 - 5.95x = 96.6$
$-2.65x = 96.6 - 149.6$
$-2.65x = -53$
$x = 53 / 2.65 = 20$.
Знайдемо $y$: $y = \frac{176 - 7(20)}{3} = \frac{176 - 140}{3} = \frac{36}{3} = 12$.
Відповідь: Початкова ціна зошита – 20 грн, ручки – 12 грн.