ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №6 (Варіант 3)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О. С. Істер (2024).
Умова
1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними?
А. $3x + 5y = 7$; Б. $3x + 5y^2 = 7$; В. $3x^2 + 5y = 7$; Г. $3x + 5y = k$.
2. Яка з точок належить графіку рівняння $x + y = 6$?
А. $(5; 2)$; Б. $(-4; -2)$; В. $(6; 1)$; Г. $(4; 2)$.
3. Яка з пар чисел є розв'язком системи рівнянь $\begin{cases} x - y = 9, \\ x + y = 1 \end{cases}$?
А. $(10; 1)$; Б. $(-4; 5)$; В. $(5; -4)$; Г. $(-5; 4)$.
4. Розв'яжіть систему рівнянь графічним способом $\begin{cases} y = -2x, \\ -3x + y = -5. \end{cases}$
5. Розв'яжіть систему рівнянь способом підстановки $\begin{cases} -2x + y = 4, \\ x + 3y = 5. \end{cases}$
6. Розв'яжіть систему рівнянь способом додавання $\begin{cases} 4x - 5y = 32, \\ 7x + 5y = 1. \end{cases}$
7. Для якого значення $m$ графік рівняння $4x + my = -12$ проходить через точку $(2; -4)$?
8. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2(x - 3) = 5y + 17, \\ 8(x + 5) - 3(y + 1) = 61. \end{cases}$
9. За 5 ручок і 2 щоденники заплатили 170 грн. Після того як ручка подешевшала на 15 %, а щоденник подорожчав на 10 %, за одну ручку й один щоденник заплатили 82,1 грн. Якими були початкові ціни ручки та щоденника?
Короткий розв'язок
1. А. $3x + 5y = 7$
2. Г. $(4; 2)$
3. В. $(5; -4)$
4. $(1; -2)$
5. $(-1; 2)$
6. $(3; -4)$
7. $m = 5$
8. $(1.5; -4)$
9. Ручка - 6 грн, щоденник - 70 грн.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: У цій роботі ми розв'язуємо системи лінійних рівнянь графічним методом, методом підстановки та методом додавання. Також розв'язуємо задачі за допомогою систем рівнянь.
1. Лінійне рівняння з двома змінними має вигляд $ax + by = c$.
А. $3x + 5y = 7$ – відповідає означенню.
Б. $3x + 5y^2 = 7$ – містить $y^2$.
В. $3x^2 + 5y = 7$ – містить $x^2$.
Г. $3x + 5y = k$ – містить три змінні.
Відповідь: А.
2. Точка належить графіку, якщо її координати перетворюють рівняння на правильну рівність. $x + y = 6$.
А. $5 + 2 = 7 \ne 6$.
Б. $-4 + (-2) = -6 \ne 6$.
В. $6 + 1 = 7 \ne 6$.
Г. $4 + 2 = 6$. (Вірно).
Відповідь: Г.
3. Пара чисел є розв'язком системи, якщо вона задовольняє кожне рівняння.
$\begin{cases} x - y = 9, \\ x + y = 1. \end{cases}$
Додамо два рівняння:
$(x + x) + (-y + y) = 9 + 1$
$2x = 10 \Rightarrow x = 5$.
Підставимо $x=5$ у друге рівняння:
$5 + y = 1 \Rightarrow y = -4$.
Відповідь: В. $(5; -4)$.
4. $\begin{cases} y = -2x, \\ -3x + y = -5. \end{cases}$
Побудуємо графік $y = -2x$ (пряма через $(0;0)$ і $(1;-2)$).
Побудуємо графік $-3x + y = -5 \Rightarrow y = 3x - 5$ (пряма через $(0;-5)$ і $(1;-2)$).
Графіки перетинаються в точці $(1; -2)$.
Відповідь: $(1; -2)$.
5. $\begin{cases} -2x + y = 4, & (1) \\ x + 3y = 5. & (2) \end{cases}$
З рівняння (1) виразимо $y$: $y = 4 + 2x$.
Підставимо у рівняння (2):
$x + 3(4 + 2x) = 5$
$x + 12 + 6x = 5$
$7x = -7$
$x = -1$.
Знайдемо $y$: $y = 4 + 2(-1) = 4 - 2 = 2$.
Відповідь: $(-1; 2)$.
6. $\begin{cases} 4x - 5y = 32, \\ 7x + 5y = 1. \end{cases}$
Коефіцієнти біля $y$ протилежні, тому додамо рівняння:
$(4x + 7x) + (-5y + 5y) = 32 + 1$
$11x = 33$
$x = 3$.
Підставимо $x=3$ у друге рівняння:
$7(3) + 5y = 1$
$21 + 5y = 1$
$5y = -20$
$y = -4$.
Відповідь: $(3; -4)$.
7. $4x + my = -12$. Точка $(2; -4)$.
Підставимо $x = 2$ та $y = -4$ у рівняння:
$4(2) + m(-4) = -12$
$8 - 4m = -12$
$-4m = -20$
$m = 5$.
Відповідь: $m = 5$.
8. $\begin{cases} 2(x - 3) = 5y + 17, \\ 8(x + 5) - 3(y + 1) = 61. \end{cases}$
Спростимо обидва рівняння:
1) $2x - 6 = 5y + 17 \Rightarrow 2x - 5y = 23$.
2) $8x + 40 - 3y - 3 = 61 \Rightarrow 8x - 3y + 37 = 61 \Rightarrow 8x - 3y = 24$.
Отримали систему:
$\begin{cases} 2x - 5y = 23, & (1) \\ 8x - 3y = 24. & (2) \end{cases}$
Помножимо рівняння (1) на -4:
$\begin{cases} -8x + 20y = -92, \\ 8x - 3y = 24. \end{cases}$
Додамо рівняння:
$(-8x + 8x) + (20y - 3y) = -92 + 24$
$17y = -68$
$y = -4$.
Підставимо $y = -4$ у рівняння (1):
$2x - 5(-4) = 23$
$2x + 20 = 23$
$2x = 3$
$x = 1.5$.
Відповідь: $(1.5; -4)$.
9. Нехай $x$ грн – початкова ціна ручки, $y$ грн – початкова ціна щоденника.
Складаємо перше рівняння: $5x + 2y = 170$. (1)
Нова ціна ручки (подешевшала на 15 %): $x - 0.15x = 0.85x$.
Нова ціна щоденника (подорожчав на 10 %): $y + 0.1y = 1.1y$.
Складаємо друге рівняння: $0.85x + 1.1y = 82.1$. (2)
Отримали систему: $\begin{cases} 5x + 2y = 170, \\ 0.85x + 1.1y = 82.1. \end{cases}$
З рівняння (1) виразимо $y$: $2y = 170 - 5x \Rightarrow y = 85 - 2.5x$.
Підставимо у рівняння (2):
$0.85x + 1.1(85 - 2.5x) = 82.1$
$0.85x + 93.5 - 2.75x = 82.1$
$-1.9x = 82.1 - 93.5$
$-1.9x = -11.4$
$x = 6$.
Знайдемо $y$: $y = 85 - 2.5(6) = 85 - 15 = 70$.
Відповідь: Початкова ціна ручки – 6 грн, щоденника – 70 грн.
