ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №6 (Варіант 4)

1. Лінійне рівняння з двома змінними має вигляд $ax + by = c$.
А. $7x - 5y = 1$ – відповідає означенню.
Б. $7x - 5y^2 = 9$ – містить $y^2$.
В. $7x^2 - 5y = 9$ – містить $x^2$.
Г. $7x - 5y = 9$ – відповідає означенню.
Відповідь: А, Г.

2. Точка належить графіку, якщо її координати перетворюють рівняння на правильну рівність. $x + y = 8$.
А. $6 + 2 = 8$. (Вірно).
Б. $-6 + (-2) = -8 \ne 8$.
В. $8 + 1 = 9 \ne 8$.
Г. $7 + 2 = 9 \ne 8$.
Відповідь: А.

3. Пара чисел є розв'язком системи, якщо вона задовольняє кожне рівняння.
$\begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = -1. \end{cases}$
Додамо два рівняння:
$(x + x) + (y - y) = 7 + (-1)$
$2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
Підставимо $x=3$ у перше рівняння:
$3 + y = 7 \Rightarrow y = 4$.
Відповідь: Б. $(3; 4)$.

4. $\begin{cases} y = -3x, \\ -2x + y = 5. \end{cases}$
Побудуємо графік $y = -3x$ (пряма через $(0;0)$ і $(-1;3)$).
Побудуємо графік $-2x + y = 5 \Rightarrow y = 2x + 5$ (пряма через $(0;5)$ і $(-1;3)$).
Графіки перетинаються в точці $(-1; 3)$.

Відповідь: $(-1; 3)$.

5. $\begin{cases} -2x - y = 5, & (1) \\ x - 3y = 8. & (2) \end{cases}$
З рівняння (1) виразимо $y$: $y = -2x - 5$.
Підставимо у рівняння (2):
$x - 3(-2x - 5) = 8$
$x + 6x + 15 = 8$
$7x = -7$
$x = -1$.
Знайдемо $y$: $y = -2(-1) - 5 = 2 - 5 = -3$.
Відповідь: $(-1; -3)$.

6. $\begin{cases} -3x + 2y = 18, \\ 3x - 4y = -24. \end{cases}$
Коефіцієнти біля $x$ протилежні, тому додамо рівняння:
$(-3x + 3x) + (2y - 4y) = 18 + (-24)$
$-2y = -6$
$y = 3$.
Підставимо $y=3$ у перше рівняння:
$-3x + 2(3) = 18$
$-3x + 6 = 18$
$-3x = 12$
$x = -4$.
Відповідь: $(-4; 3)$.

7. $px + 4y = -8$. Точка $(4; 3)$.
Підставимо $x = 4$ та $y = 3$ у рівняння:
$p(4) + 4(3) = -8$
$4p + 12 = -8$
$4p = -20$
$p = -5$.
Відповідь: $p = -5$.

8. $\begin{cases} 3(x - 5) = 8y + 9, \\ 7(x + 2) - 4(y + 5) = 28. \end{cases}$
Спростимо обидва рівняння:
1) $3x - 15 = 8y + 9 \Rightarrow 3x - 8y = 24$.
2) $7x + 14 - 4y - 20 = 28 \Rightarrow 7x - 4y - 6 = 28 \Rightarrow 7x - 4y = 34$.
Отримали систему:
$\begin{cases} 3x - 8y = 24, & (1) \\ 7x - 4y = 34. & (2) \end{cases}$
Помножимо рівняння (2) на -2:
$\begin{cases} 3x - 8y = 24, \\ -14x + 8y = -68. \end{cases}$
Додамо рівняння:
$(3x - 14x) + (-8y + 8y) = 24 - 68$
$-11x = -44$
$x = 4$.
Підставимо $x = 4$ у рівняння (2):
$7(4) - 4y = 34$
$28 - 4y = 34$
$-4y = 6$
$y = -1.5$.
Відповідь: $(4; -1.5)$.

9. Нехай $x$ грн – початкова ціна зошита, $y$ грн – початкова ціна блокнота.
Складаємо перше рівняння: $5x + 3y = 240$. (1)
Нова ціна зошита (подешевшав на 5 %): $x - 0.05x = 0.95x$.
Нова ціна блокнота (подорожчав на 20 %): $y + 0.2y = 1.2y$.
Складаємо друге рівняння: $0.95x + 1.2y = 83.4$. (2)
Отримали систему: $\begin{cases} 5x + 3y = 240, \\ 0.95x + 1.2y = 83.4. \end{cases}$
З рівняння (1) виразимо $y$: $3y = 240 - 5x \Rightarrow y = 80 - \frac{5}{3}x$.
Підставимо у рівняння (2):
$0.95x + 1.2(80 - \frac{5}{3}x) = 83.4$
$0.95x + 96 - 1.2 \cdot \frac{5}{3}x = 83.4$
$0.95x + 96 - (\frac{12}{10} \cdot \frac{5}{3})x = 83.4$
$0.95x + 96 - 2x = 83.4$
$-1.05x = 83.4 - 96$
$-1.05x = -12.6$
$x = 12$.
Знайдемо $y$: $y = 80 - \frac{5}{3}(12) = 80 - 5 \cdot 4 = 80 - 20 = 60$.
Відповідь: Початкова ціна зошита – 12 грн, блокнота – 60 грн.