ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання діагностичної роботи №6 (Варіант 2)

1. Лінійне рівняння з двома змінними має вигляд $ax + by = c$.
А. $2x - 4y = z$ – містить три змінні.
Б. $2x - 4y = 19$ – відповідає означенню.
В. $2x - 4y^2 = 19$ – містить $y^2$.
Г. $2x^2 - 4y = 19$ – містить $x^2$.
Відповідь: Б.

2. Точка належить графіку, якщо її координати перетворюють рівняння на правильну рівність. $x + y = 7$.
А. $-5 + (-2) = -7 \ne 7$.
Б. $7 + 1 = 8 \ne 7$.
В. $5 + 2 = 7$. (Вірно).
Г. $5 + 3 = 8 \ne 7$.
Відповідь: В.

3. Пара чисел є розв'язком системи, якщо вона задовольняє кожне рівняння.
$\begin{cases} x + y = 9, \\ x - y = -1. \end{cases}$
Перевіримо А. $(4; 5)$:
$4 + 5 = 9$. (Вірно).
$4 - 5 = -1$. (Вірно).
Відповідь: А.

4. $\begin{cases} y = 3x, \\ 2x + y = 5. \end{cases}$
Побудуємо графік $y = 3x$ (пряма через $(0;0)$ і $(1;3)$).
Побудуємо графік $2x + y = 5 \Rightarrow y = -2x + 5$ (пряма через $(0;5)$ і $(1;3)$).
Графіки перетинаються в точці $(1; 3)$.

Відповідь: $(1; 3)$.

5. $\begin{cases} x - 3y = 10, & (1) \\ 5x + y = 2. & (2) \end{cases}$
З рівняння (1) виразимо $x$: $x = 10 + 3y$.
Підставимо у рівняння (2):
$5(10 + 3y) + y = 2$
$50 + 15y + y = 2$
$16y = -48$
$y = -3$.
Знайдемо $x$: $x = 10 + 3(-3) = 10 - 9 = 1$.
Відповідь: $(1; -3)$.

6. $\begin{cases} 3x + 4y = -1, \\ -3x + 7y = 23. \end{cases}$
Коефіцієнти біля $x$ протилежні, тому додамо рівняння:
$(3x - 3x) + (4y + 7y) = -1 + 23$
$11y = 22$
$y = 2$.
Підставимо $y=2$ у перше рівняння:
$3x + 4(2) = -1$
$3x + 8 = -1$
$3x = -9$
$x = -3$.
Відповідь: $(-3; 2)$.

7. $2x + py = 12$. Точка $(8; -2)$.
Підставимо $x = 8$ та $y = -2$ у рівняння:
$2(8) + p(-2) = 12$
$16 - 2p = 12$
$-2p = -4$
$p = 2$.
Відповідь: $p = 2$.

8. $\begin{cases} 5(x + 2) = 2y + 22, \\ 7(x - 4) - 6(y + 2) = -28. \end{cases}$
Спростимо обидва рівняння:
1) $5x + 10 = 2y + 22 \Rightarrow 5x - 2y = 12$.
2) $7x - 28 - 6y - 12 = -28 \Rightarrow 7x - 6y - 40 = -28 \Rightarrow 7x - 6y = 12$.
Отримали систему:
$\begin{cases} 5x - 2y = 12, & (1) \\ 7x - 6y = 12. & (2) \end{cases}$
Помножимо рівняння (1) на -3:
$\begin{cases} -15x + 6y = -36, \\ 7x - 6y = 12. \end{cases}$
Додамо рівняння:
$(-15x + 7x) + (6y - 6y) = -36 + 12$
$-8x = -24$
$x = 3$.
Підставимо $x = 3$ у рівняння (1):
$5(3) - 2y = 12$
$15 - 2y = 12$
$-2y = -3$
$y = 1.5$.
Відповідь: $(3; 1.5)$.

9. Нехай $x$ грн – початкова ціна ручки, $y$ грн – початкова ціна блокнота.
Складаємо перше рівняння (за 3 ручки і 5 блокнотів): $3x + 5y = 224$. (1)
Нова ціна ручки (подорожчала на 20 %): $x + 0.2x = 1.2x$.
Нова ціна блокнота (подешевшав на 5 %): $y - 0.05y = 0.95y$.
Складаємо друге рівняння (за 1 нову ручку і 1 новий блокнот): $1.2x + 0.95y = 47.6$. (2)
Отримали систему: $\begin{cases} 3x + 5y = 224, \\ 1.2x + 0.95y = 47.6. \end{cases}$
З рівняння (1) виразимо $x$: $3x = 224 - 5y \Rightarrow x = \frac{224 - 5y}{3}$.
Підставимо у рівняння (2):
$1.2 \left( \frac{224 - 5y}{3} \right) + 0.95y = 47.6$
Скоротимо 1.2 і 3:
$0.4(224 - 5y) + 0.95y = 47.6$
Розкриємо дужки:
$89.6 - 2y + 0.95y = 47.6$
Зведемо подібні доданки:
$89.6 - 1.05y = 47.6$
$-1.05y = 47.6 - 89.6$
$-1.05y = -42$
$y = \frac{-42}{-1.05} = 40$.
Знайдемо $x$, підставивши $y=40$ у вираз для $x$:
$x = \frac{224 - 5(40)}{3} = \frac{224 - 200}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
Відповідь: Початкова ціна ручки – 8 грн, блокнота – 40 грн.