ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання річної контрольної роботи (Варіант 1)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

1. Укажіть рівняння, коренем якого є число 12.
А. $x + 3 = 14$; Б. $x – 7 = 8$; В. $2x = 20$; Г. $x : 3 = 4$.

2. $(a^4a^5) : a^2 = ...$
А. $a^{10}$; Б. $a^7$; В. $a^6$; Г. $a^{18}$.

3. Укажіть точку, що НЕ належить графіку рівняння $x + y = 7$.
А. $(4; 3)$; Б. $(3; 4)$; В. $(7; 1)$; Г. $(7; 0)$.

4. Спростіть вираз:
1) $(x – 2)(x + 2) – x(x – 3)$;
2) $(a + 3)^2 + (a – 8)(a + 2)$.

5. Розкладіть на множники:
1) $10m^3 – 15m^2n$;
2) $7p^2 – 28x^2$.

6. Розв'яжіть рівняння $7(x – 2) – 3(x + 6) = 3 – x$.

7. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ -5x + 2y = 11. \end{cases}$

8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій $y = 2x – 3$ та $y = 5$ і знайдіть координати точки їх перетину.

9. З міста в село вирушив пішохід. Через 2 год із села йому назустріч виїхав велосипедист. Відомо, що швидкість велосипедиста на 9 км/год більша за швидкість пішохода. Знайдіть швидкість велосипедиста та швидкість пішохода, якщо до моменту зустрічі пішохід був у дорозі 5 год, а відстань між містом і селом 59 км.

Короткий розв'язок

1. Г. $x : 3 = 4$

2. Б. $a^7$

3. В. $(7; 1)$

4. 1) $3x - 4$; 2) $2a^2 - 7$.

5. 1) $5m^2(2m - 3n)$; 2) $7(p - 2x)(p + 2x)$.

6. $x = 7$

7. $(-1; 3)$

8. $(4; 5)$

9. $v_п = 4$ км/год, $v_в = 13$ км/год.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Це підсумкова річна контрольна робота, що охоплює всі ключові теми 7 класу: дії зі степенями, лінійні рівняння, графіки функцій, множення многочленів, розкладання на множники та розв'язування задач системами рівнянь.

1. Перевіряємо кожне рівняння, підставляючи $x=12$.
А. $12 + 3 = 15 \ne 14$.
Б. $12 - 7 = 5 \ne 8$.
В. $2 \cdot 12 = 24 \ne 20$.
Г. $12 : 3 = 4$. (Вірно).
Відповідь: Г.

2. $(a^4a^5) : a^2 = a^{4+5} : a^2 = a^9 : a^2 = a^{9-2} = a^7$.
Відповідь: Б.

3. Перевіряємо, яка точка НЕ задовольняє рівняння $x + y = 7$.
А. $(4; 3) \Rightarrow 4 + 3 = 7$. (Належить).
Б. $(3; 4) \Rightarrow 3 + 4 = 7$. (Належить).
В. $(7; 1) \Rightarrow 7 + 1 = 8 \ne 7$. (НЕ належить).
Г. $(7; 0) \Rightarrow 7 + 0 = 7$. (Належить).
Відповідь: В.

4.
1) $(x - 2)(x + 2) - x(x - 3) = (x^2 - 4) - (x^2 - 3x) = x^2 - 4 - x^2 + 3x = 3x - 4$.
2) $(a + 3)^2 + (a - 8)(a + 2) = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) + (a \cdot a + 2a - 8a - 16) = (a^2 + 6a + 9) + (a^2 - 6a - 16) = a^2 + 6a + 9 + a^2 - 6a - 16 = 2a^2 - 7$.

5.
1) $10m^3 - 15m^2n = 5m^2(2m) - 5m^2(3n) = 5m^2(2m - 3n)$.
2) $7p^2 - 28x^2 = 7(p^2 - 4x^2) = 7(p - 2x)(p + 2x)$. (Використали формулу різниці квадратів).

6. $7(x - 2) - 3(x + 6) = 3 - x$
$7x - 14 - 3x - 18 = 3 - x$
$4x - 32 = 3 - x$
$4x + x = 3 + 32$
$5x = 35$
$x = 7$.
Відповідь: 7.

7. $\begin{cases} 2x + 3y = 7, & (1) \\ -5x + 2y = 11. & (2) \end{cases}$
Розв'яжемо методом додавання. Помножимо перше рівняння на 5, а друге на 2:
$\begin{cases} 10x + 15y = 35, \\ -10x + 4y = 22. \end{cases}$
Додамо рівняння системи:
$(10x - 10x) + (15y + 4y) = 35 + 22$
$19y = 57$
$y = 3$.
Підставимо $y=3$ у перше рівняння (1):
$2x + 3(3) = 7$
$2x + 9 = 7$
$2x = -2$
$x = -1$.
Відповідь: $(-1; 3)$.

8. $\begin{cases} y = 2x - 3, \\ y = 5. \end{cases}$
Побудуємо графік $y = 5$ – це горизонтальна пряма, що проходить через $y=5$.
Побудуємо графік $y = 2x - 3$ (лінійна функція, пряма). Візьмемо дві точки: $x=0, y=-3 \Rightarrow (0; -3)$; $x=2, y=1 \Rightarrow (2; 1)$.
Знайдемо точку перетину, прирівнявши $y$:
$5 = 2x - 3$
$8 = 2x$
$x = 4$.
Точка перетину $(4; 5)$.
Графічне розв'язання y=2x-3 і y=5
Відповідь: $(4; 5)$.

9. Нехай $v_п$ (км/год) – швидкість пішохода, $v_в$ (км/год) – швидкість велосипедиста.
Пішохід був у дорозі $t_п = 5$ год.
Велосипедист виїхав на 2 год пізніше, отже був у дорозі $t_в = 5 - 2 = 3$ год.
Швидкість велосипедиста на 9 км/год більша: $v_в = v_п + 9$.
Вони рухалися назустріч один одному і разом подолали 59 км.
$S_п + S_в = 59$.
$v_п \cdot t_п + v_в \cdot t_в = 59$.
Підставляємо відомі значення:
$v_п \cdot 5 + (v_п + 9) \cdot 3 = 59$
$5v_п + 3v_п + 27 = 59$
$8v_п = 59 - 27$
$8v_п = 32$
$v_п = 4$ (км/год) – швидкість пішохода.
$v_в = 4 + 9 = 13$ (км/год) – швидкість велосипедиста.
Відповідь: Швидкість пішохода – 4 км/год, швидкість велосипедиста – 13 км/год.