ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання річної контрольної роботи (Варіант 2)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

1. Укажіть рівняння, коренем якого є число 16.
А. $2x = 30$; Б. $x – 7 = 9$; В. $x : 8 = 4$; Г. $x + 7 = 20$.

2. $(b^7b^4) : b^2 = ...$
А. $b^{26}$; Б. $b^{14}$; В. $b^9$; Г. $b^8$.

3. Укажіть точку, що НЕ належить графіку рівняння $x + y = 8$.
А. $(5; 3)$; Б. $(3; 5)$; В. $(8; 0)$; Г. $(8; 1)$.

4. Спростіть вираз:
1) $(a – 3)(a + 3) – a(a – 4)$;
2) $(p + 2)^2 + (p – 6)(p + 2)$.

5. Розкладіть на множники:
1) $12x^3 – 18x^2y$;
2) $20m^2 – 5n^2$.

6. Розв'яжіть рівняння $8(x – 2) – 4(x + 3) = 2 – x$.

7. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2x + 5y = 8, \\ -3x + 2y = 7. \end{cases}$

8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій $y = 3x – 2$ та $y = 4$ і знайдіть координати точки їх перетину.

9. З міста в село виїхав велосипедист. Через 2 год йому назустріч із села вийшов пішохід. Відстань від села до міста дорівнює 67 км. Відомо, що швидкість велосипедиста на 7 км/год більша за швидкість пішохода. Знайдіть швидкість велосипедиста й пішохода, якщо до моменту зустрічі пішохід був у дорозі 3 год.

Короткий розв'язок

1. Б. $x - 7 = 9$

2. В. $b^9$

3. Г. $(8; 1)$

4. 1) $4a - 9$; 2) $2p^2 - 8$.

5. 1) $6x^2(2x - 3y)$; 2) $5(2m - n)(2m + n)$.

6. $x = 6$

7. $(-1; 2)$

8. $(2; 4)$

9. $v_п = 4$ км/год, $v_в = 11$ км/год.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Це підсумкова річна контрольна робота, що охоплює всі ключові теми 7 класу: дії зі степенями, лінійні рівняння, графіки функцій, множення многочленів, розкладання на множники та розв'язування задач системами рівнянь.

1. Перевіряємо кожне рівняння, підставляючи $x=16$.
А. $2 \cdot 16 = 32 \ne 30$.
Б. $16 - 7 = 9$. (Вірно).
В. $16 : 8 = 2 \ne 4$.
Г. $16 + 7 = 23 \ne 20$.
Відповідь: Б.

2. $(b^7b^4) : b^2 = b^{7+4} : b^2 = b^{11} : b^2 = b^{11-2} = b^9$.
Відповідь: В.

3. Перевіряємо, яка точка НЕ задовольняє рівняння $x + y = 8$.
А. $(5; 3) \Rightarrow 5 + 3 = 8$. (Належить).
Б. $(3; 5) \Rightarrow 3 + 5 = 8$. (Належить).
В. $(8; 0) \Rightarrow 8 + 0 = 8$. (Належить).
Г. $(8; 1) \Rightarrow 8 + 1 = 9 \ne 8$. (НЕ належить).
Відповідь: Г.

4.
1) $(a - 3)(a + 3) - a(a - 4) = (a^2 - 9) - (a^2 - 4a) = a^2 - 9 - a^2 + 4a = 4a - 9$.
2) $(p + 2)^2 + (p - 6)(p + 2) = (p^2 + 4p + 4) + (p^2 + 2p - 6p - 12) = (p^2 + 4p + 4) + (p^2 - 4p - 12) = 2p^2 - 8$.

5.
1) $12x^3 - 18x^2y = 6x^2(2x) - 6x^2(3y) = 6x^2(2x - 3y)$.
2) $20m^2 - 5n^2 = 5(4m^2 - n^2) = 5(2m - n)(2m + n)$. (Використали формулу різниці квадратів).

6. $8(x - 2) - 4(x + 3) = 2 - x$
$8x - 16 - 4x - 12 = 2 - x$
$4x - 28 = 2 - x$
$4x + x = 2 + 28$
$5x = 30$
$x = 6$.
Відповідь: 6.

7. $\begin{cases} 2x + 5y = 8, & (1) \\ -3x + 2y = 7. & (2) \end{cases}$
Розв'яжемо методом додавання. Помножимо перше рівняння на 3, а друге на 2:
$\begin{cases} 6x + 15y = 24, \\ -6x + 4y = 14. \end{cases}$
Додамо рівняння системи:
$(6x - 6x) + (15y + 4y) = 24 + 14$
$19y = 38$
$y = 2$.
Підставимо $y=2$ у перше рівняння (1):
$2x + 5(2) = 8$
$2x + 10 = 8$
$2x = -2$
$x = -1$.
Відповідь: $(-1; 2)$.

8. $\begin{cases} y = 3x - 2, \\ y = 4. \end{cases}$
Побудуємо графік $y = 4$ – це горизонтальна пряма.
Побудуємо графік $y = 3x - 2$ (лінійна функція, пряма). Точки: $(0; -2)$, $(1; 1)$.
Знайдемо точку перетину, прирівнявши $y$:
$4 = 3x - 2$
$6 = 3x$
$x = 2$.
Точка перетину $(2; 4)$.
Графічне розв'язання y=3x-2 і y=4
Відповідь: $(2; 4)$.

9. Нехай $v_п$ (км/год) – швидкість пішохода, $v_в$ (км/год) – швидкість велосипедиста.
Велосипедист ($v_в$) виїхав з міста. Пішохід ($v_п$) вийшов із села назустріч через 2 години.
Пішохід був у дорозі $t_п = 3$ год.
Велосипедист був у дорозі $t_в = t_п + 2 = 3 + 2 = 5$ год.
Швидкість велосипедиста на 7 км/год більша: $v_в = v_п + 7$.
Загальна відстань $S = 67$ км.
$S_в + S_п = 67$.
$v_в \cdot t_в + v_п \cdot t_п = 67$.
Підставляємо відомі значення:
$(v_п + 7) \cdot 5 + v_п \cdot 3 = 67$
$5v_п + 35 + 3v_п = 67$
$8v_п = 67 - 35$
$8v_п = 32$
$v_п = 4$ (км/год) – швидкість пішохода.
$v_в = 4 + 7 = 11$ (км/год) – швидкість велосипедиста.
Відповідь: Швидкість пішохода – 4 км/год, швидкість велосипедиста – 11 км/год.