ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання річної контрольної роботи (Варіант 3)
Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О. С. Істер (2024).
Умова
1. Укажіть рівняння, коренем якого є число 18.
А. $2x = 40$; Б. $x : 3 = 6$; В. $x – 3 = 16$; Г. $3 + x = 22$.
2. $(c^6c^3) : c^2 = ...$
А. $c^9$; Б. $c^6$; В. $c^7$; Г. $c^{16}$.
3. Укажіть точку, що НЕ належить графіку рівняння $x + y = 9$.
А. $(9; 1)$; Б. $(9; 0)$; В. $(4; 5)$; Г. $(5; 4)$.
4. Спростіть вираз:
1) $(b – 4)(b + 4) – b(b – 5)$;
2) $(m + 4)^2 + (m – 6)(m – 2)$.
5. Розкладіть на множники:
1) $15p^4 + 10p^3n$;
2) $3a^2 – 27b^2$.
6. Розв'яжіть рівняння $9(x – 2) – 5(x + 2) = 2 – x$.
7. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 2x - 3y = 9, \\ 3x + 5y = 4. \end{cases}$
8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій $y = 2x – 5$ та $y = 3$ і знайдіть координати точки їх перетину.
9. Із села в місто вирушив пішохід. Через 3 год з міста йому назустріч виїхав велосипедист. Відстань між містом і селом дорівнює 44 км. Відомо, що швидкість пішохода на 8 км/год менша від швидкості велосипедиста. Знайдіть швидкості велосипедиста й пішохода, якщо до моменту зустрічі велосипедист був у дорозі 2 год.
Короткий розв'язок
1. Б. $x : 3 = 6$
2. В. $c^7$
3. А. $(9; 1)$
4. 1) $5b - 16$; 2) $2m^2 + 28$.
5. 1) $5p^3(3p + 2n)$; 2) $3(a - 3b)(a + 3b)$.
6. $x = 6$
7. $(3; -1)$
8. $(4; 3)$
9. $v_п = 4$ км/год, $v_в = 12$ км/год.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Це підсумкова річна контрольна робота, що охоплює всі ключові теми 7 класу: дії зі степенями, лінійні рівняння, графіки функцій, множення многочленів, розкладання на множники та розв'язування задач системами рівнянь.
1. Перевіряємо кожне рівняння, підставляючи $x=18$.
А. $2 \cdot 18 = 36 \ne 40$.
Б. $18 : 3 = 6$. (Вірно).
В. $18 - 3 = 15 \ne 16$.
Г. $3 + 18 = 21 \ne 22$.
Відповідь: Б.
2. $(c^6c^3) : c^2 = c^{6+3} : c^2 = c^9 : c^2 = c^{9-2} = c^7$.
Відповідь: В.
3. Перевіряємо, яка точка НЕ задовольняє рівняння $x + y = 9$.
А. $(9; 1) \Rightarrow 9 + 1 = 10 \ne 9$. (НЕ належить).
Б. $(9; 0) \Rightarrow 9 + 0 = 9$. (Належить).
В. $(4; 5) \Rightarrow 4 + 5 = 9$. (Належить).
Г. $(5; 4) \Rightarrow 5 + 4 = 9$. (Належить).
Відповідь: А.
4.
1) $(b - 4)(b + 4) - b(b - 5) = (b^2 - 16) - (b^2 - 5b) = b^2 - 16 - b^2 + 5b = 5b - 16$.
2) $(m + 4)^2 + (m - 6)(m - 2) = (m^2 + 8m + 16) + (m^2 - 2m - 6m + 12) = m^2 + 8m + 16 + m^2 - 8m + 12 = 2m^2 + 28$.
5.
1) $15p^4 + 10p^3n = 5p^3(3p) + 5p^3(2n) = 5p^3(3p + 2n)$.
2) $3a^2 - 27b^2 = 3(a^2 - 9b^2) = 3(a - 3b)(a + 3b)$. (Використали формулу різниці квадратів).
6. $9(x - 2) - 5(x + 2) = 2 - x$
$9x - 18 - 5x - 10 = 2 - x$
$4x - 28 = 2 - x$
$4x + x = 2 + 28$
$5x = 30$
$x = 6$.
Відповідь: 6.
7. $\begin{cases} 2x - 3y = 9, & (1) \\ 3x + 5y = 4. & (2) \end{cases}$
Розв'яжемо методом додавання. Помножимо перше рівняння на 5, а друге на 3:
$\begin{cases} 10x - 15y = 45, \\ 9x + 15y = 12. \end{cases}$
Додамо рівняння системи:
$(10x + 9x) + (-15y + 15y) = 45 + 12$
$19x = 57$
$x = 3$.
Підставимо $x=3$ у перше рівняння (1):
$2(3) - 3y = 9$
$6 - 3y = 9$
$-3y = 3$
$y = -1$.
Відповідь: $(3; -1)$.
8. $\begin{cases} y = 2x - 5, \\ y = 3. \end{cases}$
Побудуємо графік $y = 3$ – це горизонтальна пряма.
Побудуємо графік $y = 2x - 5$ (лінійна функція, пряма). Точки: $(0; -5)$, $(2; -1)$.
Знайдемо точку перетину, прирівнявши $y$:
$3 = 2x - 5$
$8 = 2x$
$x = 4$.
Точка перетину $(4; 3)$.
Відповідь: $(4; 3)$.
9. Нехай $v_в$ (км/год) – швидкість велосипедиста, $v_п$ (км/год) – швидкість пішохода.
Пішохід ($v_п$) вийшов із села. Велосипедист ($v_в$) виїхав з міста назустріч через 3 години.
Велосипедист був у дорозі $t_в = 2$ год.
Пішохід був у дорозі $t_п = t_в + 3 = 2 + 3 = 5$ год.
Швидкість пішохода на 8 км/год менша: $v_п = v_в - 8$.
Загальна відстань $S = 44$ км.
$S_п + S_в = 44$.
$v_п \cdot t_п + v_в \cdot t_в = 44$.
Підставляємо відомі значення:
$(v_в - 8) \cdot 5 + v_в \cdot 2 = 44$
$5v_в - 40 + 2v_в = 44$
$7v_в = 84$
$v_в = 12$ (км/год) – швидкість велосипедиста.
$v_п = 12 - 8 = 4$ (км/год) – швидкість пішохода.
Відповідь: Швидкість пішохода – 4 км/год, швидкість велосипедиста – 12 км/год.
