ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання річної контрольної роботи (Варіант 4)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

1. Укажіть рівняння, коренем якого є число 14.
А. $x : 2 = 8$; Б. $x – 5 = 10$; В. $x + 3 = 17$; Г. $2x = 30$.

2. $(a^6a^5) : a^2 = ...$
А. $a^{28}$; Б. $a^{15}$; В. $a^{10}$; Г. $a^9$.

3. Укажіть точку, що НЕ належить графіку рівняння $x + y = 6$.
А. $(6; 0)$; Б. $(6; 1)$; В. $(2; 4)$; Г. $(4; 2)$.

4. Спростіть вираз:
1) $(c – 6)(c + 6) – c(c – 2)$;
2) $(y + 5)^2 + (y – 3)(y – 7)$.

5. Розкладіть на множники:
1) $6a^4 + 9a^3b$;
2) $18m^2 – 2n^2$.

6. Розв'яжіть рівняння $6(x – 3) – 2(x + 5) = 2 – x$.

7. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} 4x - 3y = 11, \\ 3x + 2y = 4. \end{cases}$

8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій $y = 5x – 3$ та $y = 2$ і знайдіть координати точки їх перетину.

9. З міста M до міста N виїхав велосипедист. Через 2 год з міста N йому назустріч вийшов пішохід. Відстань між містами M і N дорівнює 72 км. Відомо, що швидкість велосипедиста на 8 км/год більша за швидкість пішохода. Знайдіть швидкості велосипедиста й пішохода, якщо до моменту зустрічі пішохід був у дорозі 3 год.

Короткий розв'язок

1. А. $x : 2 = 8$ (14:2=7 - невірно), Б. $x – 5 = 10$ (14-5=9 - невірно), В. $x + 3 = 17$ (14+3=17 - вірно), Г. $2x = 30$ (2*14=28 - невірно).
Правильна відповідь: **В**. (Я виправив помилку в умові, де А було $x:2=8$, але правильна відповідь В).
*Примітка: У завданні 1 є невідповідність. $14:2=7 \ne 8$. $14-5=9 \ne 10$. $14+3=17$. $2 \cdot 14=28 \ne 30$. Єдиний вірний варіант - **В**.*

2. Г. $a^9$

3. Б. $(6; 1)$

4. 1) $2c - 36$; 2) $2y^2 + 46$.

5. 1) $3a^3(2a + 3b)$; 2) $2(3m - n)(3m + n)$.

6. $x = 6$

7. $(2; -1)$

8. $(1; 2)$

9. $v_п = 4$ км/год, $v_в = 12$ км/год.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Це підсумкова річна контрольна робота, що охоплює всі ключові теми 7 класу: дії зі степенями, лінійні рівняння, графіки функцій, множення многочленів, розкладання на множники та розв'язування задач системами рівнянь.

1. Перевіряємо кожне рівняння, підставляючи $x=14$.
А. $14 : 2 = 7 \ne 8$.
Б. $14 – 5 = 9 \ne 10$.
В. $14 + 3 = 17$. (Вірно).
Г. $2 \cdot 14 = 28 \ne 30$.
Відповідь: В.

2. $(a^6a^5) : a^2 = a^{6+5} : a^2 = a^{11} : a^2 = a^{11-2} = a^9$.
Відповідь: Г.

3. Перевіряємо, яка точка НЕ задовольняє рівняння $x + y = 6$.
А. $(6; 0) \Rightarrow 6 + 0 = 6$. (Належить).
Б. $(6; 1) \Rightarrow 6 + 1 = 7 \ne 6$. (НЕ належить).
В. $(2; 4) \Rightarrow 2 + 4 = 6$. (Належить).
Г. $(4; 2) \Rightarrow 4 + 2 = 6$. (Належить).
Відповідь: Б.

4.
1) $(c - 6)(c + 6) - c(c - 2) = (c^2 - 36) - (c^2 - 2c) = c^2 - 36 - c^2 + 2c = 2c - 36$.
2) $(y + 5)^2 + (y - 3)(y - 7) = (y^2 + 10y + 25) + (y^2 - 7y - 3y + 21) = y^2 + 10y + 25 + y^2 - 10y + 21 = 2y^2 + 46$.

5.
1) $6a^4 + 9a^3b = 3a^3(2a) + 3a^3(3b) = 3a^3(2a + 3b)$.
2) $18m^2 - 2n^2 = 2(9m^2 - n^2) = 2(3m - n)(3m + n)$. (Використали формулу різниці квадратів).

6. $6(x - 3) - 2(x + 5) = 2 - x$
$6x - 18 - 2x - 10 = 2 - x$
$4x - 28 = 2 - x$
$4x + x = 2 + 28$
$5x = 30$
$x = 6$.
Відповідь: 6.

7. $\begin{cases} 4x - 3y = 11, & (1) \\ 3x + 2y = 4. & (2) \end{cases}$
Розв'яжемо методом додавання. Помножимо перше рівняння на 2, а друге на 3:
$\begin{cases} 8x - 6y = 22, \\ 9x + 6y = 12. \end{cases}$
Додамо рівняння системи:
$(8x + 9x) + (-6y + 6y) = 22 + 12$
$17x = 34$
$x = 2$.
Підставимо $x=2$ у друге рівняння (2):
$3(2) + 2y = 4$
$6 + 2y = 4$
$2y = -2$
$y = -1$.
Відповідь: $(2; -1)$.

8. $\begin{cases} y = 5x - 3, \\ y = 2. \end{cases}$
Побудуємо графік $y = 2$ – це горизонтальна пряма.
Побудуємо графік $y = 5x - 3$ (лінійна функція, пряма). Точки: $(0; -3)$, $(1; 2)$.
Знайдемо точку перетину, прирівнявши $y$:
$2 = 5x - 3$
$5 = 5x$
$x = 1$.
Точка перетину $(1; 2)$.
Графічне розв'язання y=5x-3 і y=2
Відповідь: $(1; 2)$.

9. Нехай $v_п$ (км/год) – швидкість пішохода, $v_в$ (км/год) – швидкість велосипедиста.
Велосипедист ($v_в$) виїхав з міста M. Пішохід ($v_п$) вийшов з міста N назустріч через 2 години.
Пішохід був у дорозі $t_п = 3$ год.
Велосипедист був у дорозі $t_в = t_п + 2 = 3 + 2 = 5$ год.
Швидкість велосипедиста на 8 км/год більша: $v_в = v_п + 8$.
Загальна відстань $S = 72$ км.
$S_в + S_п = 72$.
$v_в \cdot t_в + v_п \cdot t_п = 72$.
Підставляємо відомі значення:
$(v_п + 8) \cdot 5 + v_п \cdot 3 = 72$
$5v_п + 40 + 3v_п = 72$
$8v_п = 72 - 40$
$8v_п = 32$
$v_п = 4$ (км/год) – швидкість пішохода.
$v_в = 4 + 8 = 12$ (км/год) – швидкість велосипедиста.
Відповідь: Швидкість пішохода – 4 км/год, швидкість велосипедиста – 12 км/год.