ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №6 (Варіант 1)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. $(c - 3)(x + 1) = ...$
А) $cx + 3x + c + 3$; Б) $cx - 3x + c + 3$; В) $cx - 3x + c - 3$; Г) $cx - 3x - c - 3$.

2. Запишіть вираз $ab - ac + 5b - 5c$ у вигляді добутку та знайдіть його значення, якщо $a = -9$, $b = 5,8$, $c = 4,8$.

3. Зведіть вираз до многочлена стандартного вигляду:
1) $(3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2)$;
2) $10x^2 - (2x - 9)(5x + 3)$;
3) $a^2(2a + 3)(a^2 - a)$.

4. Доведіть, що число $2^{12} + 2^{13} - 4^5$ кратне числу 11.

Короткий розв'язок

1. В. $cx - 3x + c - 3$.

2. $(a+5)(b-c)$; -4.

3. 1) $27x^3 + y^3$; 2) $39x + 27$; 3) $2a^5 + a^4 - 3a^3$.

4. $2^{12} + 2^{13} - 4^5 = 11 \cdot 2^{10}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо правила множення многочлена на многочлен та методи розкладання многочленів на множники: групування та винесення спільного множника. Також застосовуємо формулу суми кубів.

1. Виконаємо множення многочленів:
$(c - 3)(x + 1) = c \cdot x + c \cdot 1 - 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = cx + c - 3x - 3$.
Переставимо доданки: $cx - 3x + c - 3$.
Відповідь: В.

2. Розкладемо вираз на множники методом групування:
$ab - ac + 5b - 5c = (ab - ac) + (5b - 5c) = a(b - c) + 5(b - c) = (a + 5)(b - c)$.
Знайдемо значення добутку при $a = -9, b = 5,8, c = 4,8$:
$(-9 + 5)(5,8 - 4,8) = (-4) \cdot 1 = -4$.
Відповідь: -4.

3.
1) Застосуємо формулу суми кубів $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$:
$(3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2) = (3x)^3 + y^3 = 27x^3 + y^3$.
2) $10x^2 - (2x - 9)(5x + 3) = 10x^2 - (10x^2 + 6x - 45x - 27) = 10x^2 - (10x^2 - 39x - 27) = 10x^2 - 10x^2 + 39x + 27 = 39x + 27$.
3) $a^2(2a + 3)(a^2 - a) = a^2(2a \cdot a^2 - 2a \cdot a + 3 \cdot a^2 - 3 \cdot a) = a^2(2a^3 - 2a^2 + 3a^2 - 3a) = a^2(2a^3 + a^2 - 3a) = 2a^5 + a^4 - 3a^3$.

4. Перетворимо вираз, використовуючи властивості степенів:
$2^{12} + 2^{13} - 4^5 = 2^{12} + 2^1 \cdot 2^{12} - (2^2)^5 = 2^{12} + 2 \cdot 2^{12} - 2^{10}$.
Винесемо спільний множник $2^{12}$ за дужки:
$2^{12}(1 + 2) - 2^{10} = 3 \cdot 2^{12} - 2^{10}$.
Представимо $2^{12}$ як $2^2 \cdot 2^{10}$:
$3 \cdot (2^2 \cdot 2^{10}) - 2^{10} = 3 \cdot 4 \cdot 2^{10} - 2^{10} = 12 \cdot 2^{10} - 1 \cdot 2^{10}$.
Винесемо спільний множник $2^{10}$ за дужки:
$(12 - 1) \cdot 2^{10} = 11 \cdot 2^{10}$.
Оскільки один з множників добутку дорівнює 11, то весь вираз кратний 11. Що і треба було довести.