ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №6 (Варіант 3)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. $(x - 4)(y + 1) = ...$
А) $xy + x - 4y - 4$; Б) $xy + x + 4y + 4$; В) $xy + x + 4y - 4$; Г) $xy - x - 4y - 4$.

2. Запишіть вираз $am - an + 4m - 4n$ у вигляді добутку та знайдіть його значення, якщо $a = -7$, $m = 7,8$, $n = 6,8$.

3. Зведіть вираз до многочлена стандартного вигляду:
1) $(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$;
2) $20x^2 - (4x - 9)(5x + 2)$;
3) $y^2(3y + 4)(y^2 - y)$.

4. Доведіть, що число $2^{10} + 4^6 - 2^{11}$ кратне числу 3.

Короткий розв'язок

1. А. $xy + x - 4y - 4$.

2. $(a+4)(m-n)$; -3.

3. 1) $a^3 - 27b^3$; 2) $37x + 18$; 3) $3y^5 + y^4 - 4y^3$.

4. $2^{10} + 4^6 - 2^{11} = 3 \cdot 2^{10}$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо правила множення многочлена на многочлен та методи розкладання многочленів на множники: групування та винесення спільного множника. Також застосовуємо формулу різниці кубів.

1. Виконаємо множення многочленів:
$(x - 4)(y + 1) = x \cdot y + x \cdot 1 - 4 \cdot y - 4 \cdot 1 = xy + x - 4y - 4$.
Відповідь: А.

2. Розкладемо вираз на множники методом групування:
$am - an + 4m - 4n = (am - an) + (4m - 4n) = a(m - n) + 4(m - n) = (a + 4)(m - n)$.
Знайдемо значення добутку при $a = -7, m = 7,8, n = 6,8$:
$(-7 + 4)(7,8 - 6,8) = (-3) \cdot 1 = -3$.
Відповідь: -3.

3.
1) Застосуємо формулу різниці кубів $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$:
$(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) = (a - 3b)(a^2 + a \cdot 3b + (3b)^2) = a^3 - (3b)^3 = a^3 - 27b^3$.
2) $20x^2 - (4x - 9)(5x + 2) = 20x^2 - (20x^2 + 8x - 45x - 18) = 20x^2 - (20x^2 - 37x - 18) = 20x^2 - 20x^2 + 37x + 18 = 37x + 18$.
3) $y^2(3y + 4)(y^2 - y) = y^2(3y^3 - 3y^2 + 4y^2 - 4y) = y^2(3y^3 + y^2 - 4y) = 3y^5 + y^4 - 4y^3$.

4. Перетворимо вираз, використовуючи властивості степенів:
$2^{10} + 4^6 - 2^{11} = 2^{10} + (2^2)^6 - 2^{11} = 2^{10} + 2^{12} - 2^{11}$.
Винесемо за дужки степінь з найменшим показником, тобто $2^{10}$:
$2^{10}(1 + 2^2 - 2^1) = 2^{10}(1 + 4 - 2) = 2^{10} \cdot 3$.
Оскільки один з множників добутку дорівнює 3, то весь вираз кратний 3. Що і треба було довести.