ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 1)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть правильну рівність.
А) $t^2-5^2=(t-5)(t-5)$;
Б) $a^3+x^3=(a+x)(a^2-2ax+x^2)$;
В) $b^3-t^3=(b-t)(b^2-bt+t^2)$;
Г) $6^2-a^2=(6-a)(6+a)$.

2. Розкладіть на множники:
1) $16a^2b^2-0,09$;
2) $27x^3+1$;
3) $5a^2-5a^4$.

3. Подайте вираз $(3a-4)^2-36a^2$ у вигляді добутку.

4. Розв'яжіть рівняння $x^3-3x^2-x+3=0$.

Короткий розв'язок

1. Г. $6^2-a^2=(6-a)(6+a)$.

2. 1) $(4ab-0,3)(4ab+0,3)$;
2) $(3x+1)(9x^2-3x+1)$;
3) $5a^2(1-a)(1+a)$.

3. $(-3a-4)(9a-4)$.

4. $x_1=3$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо формулу різниці квадратів $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, формули суми та різниці кубів $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ та метод групування.

1. Перевіримо кожну рівність:
А) $t^2-5^2=(t-5)(t+5)$. Неправильно.
Б) $a^3+x^3=(a+x)(a^2-ax+x^2)$. Неправильно (помилка в подвоєному добутку).
В) $b^3-t^3=(b-t)(b^2+bt+t^2)$. Неправильно (помилка в знаку неповного квадрата).
Г) $6^2-a^2=(6-a)(6+a)$. Це формула різниці квадратів. Правильно.
Відповідь: Г.

2.
1) $16a^2b^2-0,09 = (4ab)^2 - (0,3)^2 = (4ab-0,3)(4ab+0,3)$ (за формулою різниці квадратів).
2) $27x^3+1 = (3x)^3 + 1^3 = (3x+1)((3x)^2 - 3x \cdot 1 + 1^2) = (3x+1)(9x^2-3x+1)$ (за формулою суми кубів).
3) $5a^2-5a^4 = 5a^2(1-a^2) = 5a^2(1-a)(1+a)$ (винесення спільного множника та різниця квадратів).

3. Використаємо формулу різниці квадратів $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(3a-4)^2-36a^2 = (3a-4)^2 - (6a)^2$
$= ((3a-4) - 6a)((3a-4) + 6a)$
$= (3a-4-6a)(3a-4+6a)$
$= (-3a-4)(9a-4)$.
Відповідь: $(-3a-4)(9a-4)$.

4. $x^3-3x^2-x+3=0$
Застосуємо метод групування:
$(x^3-3x^2) + (-x+3) = 0$
$x^2(x-3) - 1(x-3) = 0$
$(x-3)(x^2-1) = 0$
Розкладемо $x^2-1$ за формулою різниці квадратів:
$(x-3)(x-1)(x+1) = 0$
Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один з множників дорівнює нулю:
$x-3=0 \Rightarrow x_1=3$
$x-1=0 \Rightarrow x_2=1$
$x+1=0 \Rightarrow x_3=-1$
Відповідь: 3; 1; -1.