ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 3)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть правильну рівність.
А) $m^2-3^2=(m-3)(m-3)$;
Б) $4^2-p^2=(4-p)^2$;
В) $x^3-a^3=(x-a)(x^2+xa+a^2)$;
Г) $b^3+y^3=(b+y)(b^2+by+y^2)$.

2. Розкладіть на множники:
1) $36a^2x^2-0,49$;
2) $8b^3-1$;
3) $7m^2-7m^4$.

3. Подайте вираз $(5a-7)^2-9a^2$ у вигляді добутку.

4. Розв'яжіть рівняння $y^3-8y^2-y+8=0$.

Короткий розв'язок

1. В. $x^3-a^3=(x-a)(x^2+xa+a^2)$.

2. 1) $(6ax-0,7)(6ax+0,7)$;
2) $(2b-1)(4b^2+2b+1)$;
3) $7m^2(1-m)(1+m)$.

3. $(2a-7)(8a-7)$.

4. $y_1=8$, $y_2=1$, $y_3=-1$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо формулу різниці квадратів $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, формули суми та різниці кубів $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ та метод групування.

1. Перевіримо кожну рівність:
А) $m^2-3^2=(m-3)(m+3)$. Неправильно.
Б) $4^2-p^2=(4-p)(4+p)$. Неправильно.
В) $x^3-a^3=(x-a)(x^2+xa+a^2)$. Це формула різниці кубів. Правильно.
Г) $b^3+y^3=(b+y)(b^2-by+y^2)$. Неправильно (помилка в знаку неповного квадрата).
Відповідь: В.

2.
1) $36a^2x^2-0,49 = (6ax)^2 - (0,7)^2 = (6ax-0,7)(6ax+0,7)$ (за формулою різниці квадратів).
2) $8b^3-1 = (2b)^3 - 1^3 = (2b-1)((2b)^2 + 2b \cdot 1 + 1^2) = (2b-1)(4b^2+2b+1)$ (за формулою різниці кубів).
3) $7m^2-7m^4 = 7m^2(1-m^2) = 7m^2(1-m)(1+m)$ (винесення спільного множника та різниця квадратів).

3. Використаємо формулу різниці квадратів $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(5a-7)^2-9a^2 = (5a-7)^2 - (3a)^2$
$= ((5a-7) - 3a)((5a-7) + 3a)$
$= (5a-7-3a)(5a-7+3a)$
$= (2a-7)(8a-7)$.
Відповідь: $(2a-7)(8a-7)$.

4. $y^3-8y^2-y+8=0$
Застосуємо метод групування:
$(y^3-8y^2) + (-y+8) = 0$
$y^2(y-8) - 1(y-8) = 0$
$(y-8)(y^2-1) = 0$
Розкладемо $y^2-1$ за формулою різниці квадратів:
$(y-8)(y-1)(y+1) = 0$
Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один з множників дорівнює нулю:
$y-8=0 \Rightarrow y_1=8$
$y-1=0 \Rightarrow y_2=1$
$y+1=0 \Rightarrow y_3=-1$
Відповідь: 8; 1; -1.