ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 4)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть правильну рівність.
А) $7^2-x^2=(7-x)(7-x)$;
Б) $m^3+b^3=(m+b)(m^2-mb+b^2)$;
В) $a^3-y^3=(a-y)(a^2+ay+y^2)$;
Г) $c^2-5^2=(c-5)^2$.

2. Розкладіть на множники:
1) $49a^2y^2-0,36$;
2) $1+8x^3$;
3) $3b^4-3b^2$.

3. Подайте вираз $(6m-7)^2-16m^2$ у вигляді добутку.

4. Розв'яжіть рівняння $6-y-6y^2+y^3=0$.

Короткий розв'язок

1. Б. $m^3+b^3=(m+b)(m^2-mb+b^2)$ та В. $a^3-y^3=(a-y)(a^2+ay+y^2)$.

2. 1) $(7ay-0,6)(7ay+0,6)$;
2) $(1+2x)(1-2x+4x^2)$;
3) $3b^2(b-1)(b+1)$.

3. $(2m-7)(10m-7)$.

4. $y_1=6$, $y_2=1$, $y_3=-1$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо формулу різниці квадратів $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, формули суми та різниці кубів $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ та метод групування.

1. Перевіримо кожну рівність:
А) $7^2-x^2=(7-x)(7+x)$. Неправильно.
Б) $m^3+b^3=(m+b)(m^2-mb+b^2)$. Це формула суми кубів. Правильно.
В) $a^3-y^3=(a-y)(a^2+ay+y^2)$. Це формула різниці кубів. Правильно.
Г) $c^2-5^2=(c-5)(c+5)$. Неправильно.
Відповідь: Б, В.

2.
1) $49a^2y^2-0,36 = (7ay)^2 - (0,6)^2 = (7ay-0,6)(7ay+0,6)$ (за формулою різниці квадратів).
2) $1+8x^3 = 1^3 + (2x)^3 = (1+2x)(1^2 - 1 \cdot 2x + (2x)^2) = (1+2x)(1-2x+4x^2)$ (за формулою суми кубів).
3) $3b^4-3b^2 = 3b^2(b^2-1) = 3b^2(b-1)(b+1)$ (винесення спільного множника та різниця квадратів).

3. Використаємо формулу різниці квадратів $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(6m-7)^2-16m^2 = (6m-7)^2 - (4m)^2$
$= ((6m-7) - 4m)((6m-7) + 4m)$
$= (6m-7-4m)(6m-7+4m)$
$= (2m-7)(10m-7)$.
Відповідь: $(2m-7)(10m-7)$.

4. $6-y-6y^2+y^3=0$
Перегрупуємо доданки для зручності:
$y^3-6y^2-y+6 = 0$
Застосуємо метод групування:
$(y^3-6y^2) + (-y+6) = 0$
$y^2(y-6) - 1(y-6) = 0$
$(y-6)(y^2-1) = 0$
Розкладемо $y^2-1$ за формулою різниці квадратів:
$(y-6)(y-1)(y+1) = 0$
Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один з множників дорівнює нулю:
$y-6=0 \Rightarrow y_1=6$
$y-1=0 \Rightarrow y_2=1$
$y+1=0 \Rightarrow y_3=-1$
Відповідь: 6; 1; -1.