ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання самостійної роботи №8 (Варіант 2)

Обкладинка збірника самостійних та діагностичних робіт Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до збірника самостійних та діагностичних робіт «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер (2024).

Умова

1. Укажіть правильну рівність.
А) $c^3-d^3=(c-d)(c^2+2cd+d^2)$;
Б) $3^2-b^2=(3-b)(3-b)$;
В) $a^2-7^2=(a+7)(a-7)$;
Г) $p^3+a^3=(p+a)(p^2+pa+a^2)$.

2. Розкладіть на множники:
1) $25x^2y^2-0,16$;
2) $1-27a^3$;
3) $6x^4-6x^2$.

3. Подайте вираз $(4x-5)^2-49x^2$ у вигляді добутку.

4. Розв'яжіть рівняння $7-x-7x^2+x^3=0$.

Короткий розв'язок

1. В. $a^2-7^2=(a+7)(a-7)$.

2. 1) $(5xy-0,4)(5xy+0,4)$;
2) $(1-3a)(1+3a+9a^2)$;
3) $6x^2(x-1)(x+1)$.

3. $(-3x-5)(11x-5)$.

4. $x_1=7$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: У цих завданнях ми використовуємо формулу різниці квадратів $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, формули суми та різниці кубів $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ та метод групування.

1. Перевіримо кожну рівність:
А) $c^3-d^3=(c-d)(c^2+cd+d^2)$. Неправильно.
Б) $3^2-b^2=(3-b)(3+b)$. Неправильно.
В) $a^2-7^2=(a+7)(a-7)$. Це формула різниці квадратів. Правильно.
Г) $p^3+a^3=(p+a)(p^2-pa+a^2)$. Неправильно (помилка в знаку неповного квадрата).
Відповідь: В.

2.
1) $25x^2y^2-0,16 = (5xy)^2 - (0,4)^2 = (5xy-0,4)(5xy+0,4)$ (за формулою різниці квадратів).
2) $1-27a^3 = 1^3 - (3a)^3 = (1-3a)(1^2 + 1 \cdot 3a + (3a)^2) = (1-3a)(1+3a+9a^2)$ (за формулою різниці кубів).
3) $6x^4-6x^2 = 6x^2(x^2-1) = 6x^2(x-1)(x+1)$ (винесення спільного множника та різниця квадратів).

3. Використаємо формулу різниці квадратів $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(4x-5)^2-49x^2 = (4x-5)^2 - (7x)^2$
$= ((4x-5) - 7x)((4x-5) + 7x)$
$= (4x-5-7x)(4x-5+7x)$
$= (-3x-5)(11x-5)$.
Відповідь: $(-3x-5)(11x-5)$.

4. $7-x-7x^2+x^3=0$
Перегрупуємо доданки для зручності:
$x^3-7x^2-x+7 = 0$
Застосуємо метод групування:
$(x^3-7x^2) + (-x+7) = 0$
$x^2(x-7) - 1(x-7) = 0$
$(x-7)(x^2-1) = 0$
Розкладемо $x^2-1$ за формулою різниці квадратів:
$(x-7)(x-1)(x+1) = 0$
Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один з множників дорівнює нулю:
$x-7=0 \Rightarrow x_1=7$
$x-1=0 \Rightarrow x_2=1$
$x+1=0 \Rightarrow x_3=-1$
Відповідь: 7; 1; -1.