ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1313

1) $\begin{cases} 3(x - 2y) + x(7 - 2y) = 2y(1 - x) \\ 4(x - y - 1) + 5(x + y - 1) = 32 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x - 6y + 7x - 2xy = 2y - 2xy \\ 4x - 4y - 4 + 5x + 5y - 5 = 32 \end{cases} \implies \begin{cases} 10x - 8y = 0 \\ 9x + y = 41 \end{cases}$

$\implies \begin{cases} 5x - 4y = 0 \\ y = 41 - 9x \end{cases}$

$5x - 4(41 - 9x) = 0 \implies 5x - 164 + 36x = 0 \implies$

$\implies 41x = 164 \implies x = 4;$

$y = 41 - 9 \cdot 4 = 5. $

Відповідь: (4; 5).

2) $\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (x + 3)^2 + (y + 1)^2 \\ (y - 2)^2 - (y + 2)^2 = (x + 6)^2 - (x - 1)^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 \\ y^2 - 4y + 4 - (y^2 + 4y + 4) = x^2 + 12x + 36 - (x^2 - 2x + 1) \end{cases}$

$\begin{cases} 4x - 2y + 5 = 6x + 2y + 10 \\ -8y = 14x + 35 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x + 4y = -5 \quad (\cdot 2) \\ 14x + 8y = -35 \end{cases}$

$\implies \begin{cases} 4x + 8y = -10 \\ 14x + 8y = -35 \end{cases}$

Віднімемо рівняння: $10x = -25 \implies x = -2,5;$

$2 \cdot (-2,5) + 4y = -5 \implies -5 + 4y = -5 \implies 4y = 0 \implies y = 0.$

Відповідь: (-2,5; 0).

Ці системи є "вищим пілотажем" у темі лінійних рівнянь. У першому завданні складність полягала в наявності добутку $xy$ в обох частинах рівняння. Після розкриття дужок ми побачили, що доданки $-2xy$ взаємно знищуються, залишаючи класичну лінійну залежність. У другому завданні ми працювали з квадратами двочленів. Розписавши їх за формулами скороченого множення, ми помітили, що квадрати змінних ($x^2$ та $y^2$) також зникають. Це критично важливий момент: якби вони залишилися, система перестала б бути лінійною. Звівши обидві задачі до стандартного вигляду, ми використали перевірені методи — підстановку для першого прикладу та додавання (віднімання) для другого. Отримані результати підтверджують, що навіть найстрашніші на вигляд системи "приборкуються" правильним застосуванням базових алгебраїчних правил.