ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1318

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Умова вправи № 1318

Теплохід за 3 год за течією і 2 год проти течії долає 142 км. Цей самий теплохід за 4 год проти течії долає на 14 км більше, ніж за 3 год за течією. Знайдіть власну швидкість теплохода і швидкість течії.

Розв'язок вправи № 1318

Коротке рішення

Власна швидкість — $x$ км/год; швидкість течії — $y$ км/год;

Шв. за течією: $(x + y);$ шв. проти течії: $(x - y);$

3 год за течією + 2 год проти течії = 142 км;

4 год проти течії - 3 год за течією = 14 км.

$\begin{cases} 3(x + y) + 2(x - y) = 142, \\ 4(x - y) - 3(x + y) = 14; \end{cases}$

$\begin{cases} 3x + 3y + 2x - 2y = 142, \\ 4x - 4y - 3x - 3y = 14; \end{cases}$

$\begin{cases} 5x + y = 142, \\ x - 7y = 14; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 14 + 7y, \\ 5(14 + 7y) + y = 142. \end{cases}$

$70 + 35y + y = 142;$

$36y = 72;$

$y = 2$ (км/год) — течія;

$x = 14 + 7 \cdot 2 = 28$ (км/год) — теплохід.

Відповідь: власна швидкість — 28 км/год, швидкість течії — 2 км/год.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Дана задача на рух по воді розв'язується через математичне моделювання системою лінійних рівнянь. Головне правило: швидкість за течією — це сума власної швидкості та швидкості течії, а проти течії — їх різниця.

Нехай власна швидкість теплохода дорівнює $x$ км/год, а швидкість течії річки — $y$ км/год. Тоді швидкість за течією становить $(x+y)$ км/год, а проти неї — $(x-y)$ км/год. Записуємо першу умову про загальний шлях: $3(x+y) + 2(x-y) = 142.$ Друга умова про різницю шляхів дає рівняння: $4(x-y) - 3(x+y) = 14.$ Після розкриття дужок та зведення подібних доданків ми отримали значно простішу систему. Використавши метод підстановки (виразивши $x$ через $y$ із другого рівняння), ми знайшли, що швидкість течії дорівнює 2 км/год. Обчисливши власну швидкість, отримали 28 км/год. Така модель дозволяє точно врахувати вплив течії на результативну швидкість судна.