ГДЗ до вправи 10.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $y = \sqrt[3]{x - 1}$. Показник непарний $\Rightarrow x - 1 \in \mathbb{R} \Rightarrow x \in \mathbb{R}$.

2) $y = \sqrt[4]{|x| - 1}$. Показник парний $\Rightarrow |x| - 1 \ge 0 \Rightarrow |x| \ge 1 \Rightarrow x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

3) $y = \sqrt[6]{x^2(x - 3)}$. Показник парний $\Rightarrow x^2(x - 3) \ge 0 \Rightarrow x^2 = 0 \text{ або } x - 3 \ge 0 \Rightarrow x = 0 \text{ або } x \ge 3$.

• У першому випадку: Маємо корінь третього (непарного) степеня. Оскільки добути корінь непарного степеня можна як з додатного, так і з від'ємного числа або нуля, обмежень на аргумент $x$ немає. Отже, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• У другому випадку: Корінь четвертого степеня — парний. Вираз під ним повинен бути $\ge 0$. Розв'язуємо нерівність $|x| - 1 \ge 0$, що дає $|x| \ge 1$. Це означає, що точка на числовій прямій має бути віддалена від нуля не менше ніж на одиницю, тобто $x \le -1$ або $x \ge 1$.
• У третьому випадку: Корінь шостого степеня — парний. Нерівність $x^2(x - 3) \ge 0$ розв'язується методом інтервалів. Оскільки множник $x^2$ завжди невід'ємний, він не впливає на знак виразу (крім точки $0$, де весь вираз стає нулем). Залишається умова $x - 3 \ge 0$, тобто $x \ge 3$, плюс окрема точка $x = 0$.