ГДЗ до вправи 10.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt[4]{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt[4]{x} - 4 \ge -4$.
Відповідь: $E(y) = [-4; +\infty)$.

2) $\sqrt[5]{x} \in \mathbb{R} \Rightarrow \sqrt[5]{x} - 2 \in \mathbb{R}$.
Відповідь: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) $\sqrt[7]{x} \in \mathbb{R} \Rightarrow \sqrt[7]{x} + 1 \in \mathbb{R}$. Модуль будь-якого дійсного числа $\ge 0$.
Оскільки вираз $\sqrt[7]{x} + 1$ набуває значення $0$ при $x=-1$, то мінімум функції дорівнює $0$.
Відповідь: $E(y) = [0; +\infty)$.

• У першому випадку: Маємо $y = \sqrt[4]{x} - 4$. Показник кореня $4$ є парним, тому мінімальне значення кореня — це $0$. Віднімаючи $4$, ми отримуємо, що найменше значення всієї функції дорівнює $-4$. Вгору функція нічим не обмежена.
• У другому випадку: Функція $y = \sqrt[5]{x} - 2$ містить корінь непарного степеня. Така функція набуває будь-яких значень на всій числовій прямій. Зсув графіка на $2$ одиниці вниз не змінює того факту, що $y$ може бути будь-яким числом.
• У третьому випадку: Розглядаємо $y = |\sqrt[7]{x} + 1|$. Вираз під модулем може бути будь-яким числом (додатним, від'ємним або нулем), оскільки корінь непарний. Проте операція взяття модуля "відсікає" всі від'ємні значення, залишаючи лише числа від $0$ і вище. Оскільки всередині модуля можна отримати нуль (при $x=-1$), то $0$ входить до області значень.