ГДЗ до вправи 10.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 10.8
Знайдіть область значень функції:
- $y = \sqrt[4]{x} - 4$;
- $y = \sqrt[5]{x} - 2$;
- $y = |\sqrt[7]{x} + 1|$.
Розв'язок вправи № 10.8
Коротке рішення
1) $\sqrt[4]{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt[4]{x} - 4 \ge -4$.
Відповідь: $E(y) = [-4; +\infty)$.
2) $\sqrt[5]{x} \in \mathbb{R} \Rightarrow \sqrt[5]{x} - 2 \in \mathbb{R}$.
Відповідь: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3) $\sqrt[7]{x} \in \mathbb{R} \Rightarrow \sqrt[7]{x} + 1 \in \mathbb{R}$. Модуль будь-якого дійсного числа $\ge 0$.
Оскільки вираз $\sqrt[7]{x} + 1$ набуває значення $0$ при $x=-1$, то мінімум функції дорівнює $0$.
Відповідь: $E(y) = [0; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Множина значень функції залежить від типу кореня. Для парних степенів результат завжди $\ge 0$, для непарних — будь-яке число. Знак модуля завжди перетворює будь-який діапазон значень на невід'ємний. Тема: Функції та їх властивості.
- У першому випадку: Маємо $y = \sqrt[4]{x} - 4$. Показник кореня $4$ є парним, тому мінімальне значення кореня — це $0$. Віднімаючи $4$, ми отримуємо, що найменше значення всієї функції дорівнює $-4$. Вгору функція нічим не обмежена.
- У другому випадку: Функція $y = \sqrt[5]{x} - 2$ містить корінь непарного степеня. Така функція набуває будь-яких значень на всій числовій прямій. Зсув графіка на $2$ одиниці вниз не змінює того факту, що $y$ може бути будь-яким числом.
- У третьому випадку: Розглядаємо $y = |\sqrt[7]{x} + 1|$. Вираз під модулем може бути будь-яким числом (додатним, від'ємним або нулем), оскільки корінь непарний. Проте операція взяття модуля "відсікає" всі від'ємні значення, залишаючи лише числа від $0$ і вище. Оскільки всередині модуля можна отримати нуль (при $x=-1$), то $0$ входить до області значень.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.