До змісту

ГДЗ до вправи 11.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 11.10

Спростіть вираз (m+n)(m4+n4)(m8+n8)(m8−n8)(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n}).

Розв'язок вправи № 11.10

Коротке рішення

(m+n)(m4+n4)(m8+n8)(m8−n8)⏟(m8)2−(n8)2(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})\underbrace{(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n})}_{(\sqrt[8]{m})^2 - (\sqrt[8]{n})^2}

=(m+n)(m4+n4)(m4−n4)⏟(m4)2−(n4)2= (\sqrt{m} + \sqrt{n})\underbrace{(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})}_{(\sqrt[4]{m})^2 - (\sqrt[4]{n})^2}

=(m+n)(m−n)=(m)2−(n)2=m−n= (\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n.

Відповідь: m−nm - n.

Детальне рішення

Ключ до розв’язання: У цьому завданні необхідно послідовно застосовувати формулу різниці квадратів (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2, починаючи з дужок із найменшими показниками степенів коренів. Тема: Теоретичний довідник з алгебри.

Процес спрощення відбувається в три етапи:

  1. Спочатку розглядаємо добуток останніх двох дужок: (m8+n8)(m8−n8)(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n}). За формулою різниці квадратів отримуємо m28−n28\sqrt[8]{m^2} - \sqrt[8]{n^2}, що після скорочення показників дорівнює m4−n4\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}.
  2. Отриманий результат множимо на попередню дужку: (m4+n4)(m4−n4)(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}). Це дає нам m24−n24\sqrt[4]{m^2} - \sqrt[4]{n^2}, що спрощується до m−n\sqrt{m} - \sqrt{n}.
  3. Нарешті, множимо на першу дужку: (m+n)(m−n)=(m)2−(n)2=m−n(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n.

Популярне у 10 класі