До змісту

ГДЗ до вправи 11.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 11.11

Скоротіть дріб:

1) a−ba4+b4\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}};
2) x6−9x12+3\dfrac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3};
3) ab28−a2b8a4−b4\dfrac{\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}};
4) x23+4x3+16x−64\dfrac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{x - 64};
5) a+ba3−ab6+b3\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}};
6) 2−2323\dfrac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}.

Розв'язок вправи № 11.11

Коротке рішення

1) a−ba4+b4=(a4)2−(b4)2a4+b4=(a4−b4)(a4+b4)a4+b4=a4−b4\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \dfrac{(\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \dfrac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}.

2) x6−9x12+3=(x12)2−32x12+3=(x12−3)(x12+3)x12+3=x12−3\dfrac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3} = \dfrac{(\sqrt[12]{x})^2 - 3^2}{\sqrt[12]{x} + 3} = \dfrac{(\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)}{\sqrt[12]{x} + 3} = \sqrt[12]{x} - 3.

3) ab28−a2b8a4−b4=ab8(b8−a8)(a8)2−(b8)2=−ab8(a8−b8)(a8−b8)(a8+b8)=\dfrac{\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} = \dfrac{\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})}{(\sqrt[8]{a})^2 - (\sqrt[8]{b})^2} = \dfrac{-\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})} =
=−ab8a8+b8= -\dfrac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}.

4) x23+4x3+16x−64=x23+4x3+16(x3)3−43=\dfrac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{x - 64} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{(\sqrt[3]{x})^3 - 4^3} =
=x23+4x3+16(x3−4)(x23+4x3+16)=1x3−4= \dfrac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{(\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}.

5) a+ba3−ab6+b3=(a6)3+(b6)3a26−ab6+b26=\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}} = \dfrac{(\sqrt[6]{a})^3 + (\sqrt[6]{b})^3}{\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[6]{b^2}} =
=(a6+b6)(a26−ab6+b26)a26−ab6+b26=a6+b6= \dfrac{(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[6]{b^2})}{\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[6]{b^2}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}.

6) 2−2323=233−2323=23(223−1)23=43−1\dfrac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2^3} - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2^2} - 1)}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4} - 1.

Детальне рішення

Ключ до розв’язання: Основний метод скорочення таких дробів полягає у представленні чисельника або знаменника за формулами скороченого множення (різниця квадратів, сума/різниця кубів) через корені більших степенів. Тема: Теоретичний довідник з алгебри.

  • У прикладах 1 та 2 ми розглядаємо чисельник як різницю квадратів. Наприклад, a=(a4)2\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2.
  • У прикладі 3 виносимо спільний множник ab8\sqrt[8]{ab} та використовуємо різницю квадратів у знаменнику.
  • Приклади 4 та 5 розв'язуються за допомогою формул кубів: x−64=(x3)3−43x - 64 = (\sqrt[3]{x})^3 - 4^3 та a+b=(a6)3+(b6)3\sqrt{a} + \sqrt{b} = (\sqrt[6]{a})^3 + (\sqrt[6]{b})^3.

Популярне у 10 класі