ГДЗ до вправи 11.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \dfrac{(\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \dfrac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$.

2) $\dfrac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3} = \dfrac{(\sqrt[12]{x})^2 - 3^2}{\sqrt[12]{x} + 3} = \dfrac{(\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)}{\sqrt[12]{x} + 3} = \sqrt[12]{x} - 3$.

3) $\dfrac{\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} = \dfrac{\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})}{(\sqrt[8]{a})^2 - (\sqrt[8]{b})^2} = \dfrac{-\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})} =$
$= -\dfrac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$.

4) $\dfrac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{x - 64} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{(\sqrt[3]{x})^3 - 4^3} =$
$= \dfrac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{(\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$.

5) $\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}} = \dfrac{(\sqrt[6]{a})^3 + (\sqrt[6]{b})^3}{\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[6]{b^2}} =$
$= \dfrac{(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[6]{b^2})}{\sqrt[6]{a^2} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[6]{b^2}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.

6) $\dfrac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2^3} - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2^2} - 1)}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4} - 1$.

• У прикладах 1 та 2 ми розглядаємо чисельник як різницю квадратів. Наприклад, $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$.
• У прикладі 3 виносимо спільний множник $\sqrt[8]{ab}$ та використовуємо різницю квадратів у знаменнику.
• Приклади 4 та 5 розв'язуються за допомогою формул кубів: $x - 64 = (\sqrt[3]{x})^3 - 4^3$ та $\sqrt{a} + \sqrt{b} = (\sqrt[6]{a})^3 + (\sqrt[6]{b})^3$.