ГДЗ до вправи 12.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $$ \left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} + \left( \frac{1}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot (0,81)^{-0,5} = 16^{\frac{3}{4}} + 8^{\frac{2}{3}} \cdot \left( \frac{81}{100} \right)^{-0,5} = (2^4)^{\frac{3}{4}} + (2^3)^{\frac{2}{3}} \cdot \left( \frac{100}{81} \right)^{\frac{1}{2}} = 2^3 + 2^2 \cdot \frac{10}{9} = 8 + \frac{40}{9} = 12\frac{4}{9} $$

---

2) $$ 16^{\frac{1}{8}} \cdot 8^{-\frac{5}{6}} \cdot 4^{1,5} = (2^4)^{\frac{1}{8}} \cdot (2^3)^{-\frac{5}{6}} \cdot (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{5}{2}} \cdot 2^3 = 2^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3} = 2^1 = 2 $$

---

3) $$ \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{12}}}{9^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}} = \frac{5^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{12} + \frac{1}{4}}}{9^{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}}} = 5^1 \cdot \frac{8^{\frac{1}{3}}}{9^{\frac{1}{2}}} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $$

---

4) $$ \left( 72^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : 36^{-\frac{1}{6}} = 72^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 36^{\frac{1}{6}} = (8 \cdot 9)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot (6^2)^{\frac{1}{6}} = 2 \cdot 9^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} = 2^{1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2^0 \cdot 3^1 = 3 $$

• Пункт 1: Позбуваємося від'ємних показників, замінюючи основи на обернені. Числа 16 та 8 подаємо як степені двійки, а 0,81 — як $ (\frac{9}{10})^2 $.
• Пункт 2: Зводимо всі основи до числа 2. При множенні степенів показники додаємо: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $.
• Пункт 3: Групуємо множники з однаковими основами (5, 8 та 9) та виконуємо дії з показниками окремо для кожної основи.
• Пункт 4: Використовуємо властивість піднесення степеня до степеня $ (a^m)^n = a^{mn} $ та розкладаємо складні основи (72 та 36) на множники.