ГДЗ до вправи 12.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $$ \frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)}{a^{\frac{2}{3}} + 2} = a^{\frac{1}{3}} $$

---

2) $$ \frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)} = \frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}} $$

---

3) $$ \frac{x^{3,5}y^{2,5} - x^{2,5}y^{3,5}}{x + 2x^{0,5}y^{0,5} + y} = \frac{x^{2,5}y^{2,5}(x - y)}{(x^{0,5} + y^{0,5})^2} = \frac{x^{2,5}y^{2,5}(x^{0,5} - y^{0,5})(x^{0,5} + y^{0,5})}{(x^{0,5} + y^{0,5})^2} = \frac{x^{2,5}y^{2,5}(x^{0,5} - y^{0,5})}{x^{0,5} + y^{0,5}} $$

---

4) $$ \frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25} = \frac{(a^{\frac{1}{3}})^3 - 5^3}{(a^{\frac{1}{3}})^2 - 5^2} = \frac{(a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)}{(a^{\frac{1}{3}} - 5)(a^{\frac{1}{3}} + 5)} = \frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5} $$

---

5) $$ \frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}} = \frac{m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{3}} - 36)}{m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)} = \frac{m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)(m^{\frac{1}{6}} + 6)}{m^{\frac{1}{6}} - 6} = m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} + 6) = m^{\frac{2}{3}} + 6m^{\frac{1}{2}} $$

---

6) $$ \frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}} = \frac{8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}{2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)} = \frac{8^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $$

• У пункті 1 винесено спільний множник \( a^{\frac{1}{3}} \).
• У пункті 2 чисельник розкладено як різницю квадратів для виразу \( a^{\frac{1}{2}} \).
• У пункті 3 в чисельнику винесено \( x^{2,5}y^{2,5} \), а знаменник згорнуто як квадрат суми.
• У пункті 4 чисельник розкладено як різницю кубів, а знаменник — як різницю квадратів.
• У пункті 5 винесено спільні множники в чисельнику та знаменнику, після чого застосовано різницю квадратів для \( m^{\frac{1}{3}} \).
• У пункті 6 винесено спільні корені 4-го степеня в чисельнику та знаменнику, що дозволило скоротити дріб.